PRÉFACE. Y II

cependanl les intégrales imaginaires et les éléments de la théorie générale des fonctions, si propres à simplifier ^exposition directe. Les procédés dont je fais usage, plus élémentaires, répondent mieux, je crois, à l'idée d'instruction graduelle, qui m'a servi de guide. En rejetant à la fin du Volume l'étude des liens étroits qui unissent les intégrales imaginaires et les fonctions doublement périodiques, j'ai sacrifié l'élégance à l'utilité. Si j'ai été entraîné par là, notamment dans les Chapitres V et VI, à quelques longueurs, il ne faut pas trop le regretter : les détails qu'exige l'unique considération des intégrales réelles sont, de toute façon, nécessaires; si, en se servant d'abord des intégrales imaginaires, on les évite dans la théorie générale, on est tenu de les aborder ensuite pour certaines applications. Sur ce point donc, je demande aux mathématiciens leur indulgence provisoire, jusqu'à la publication du second Volume. Ils pourront alors juger si le mode d'exposition, adopté spécialement pour rendre les applications faciles, répond, autant que je le crois, au but proposé.

Les notations employées dans cet Ouvrage sont celles de M. Weierstrass. La préférence qu'il faut leur accorder sur les notations primitives n'est pas contestable. Pour les applications, elles constituent un très grand progrès, grâce surtout à l'avantage de fournir, dans l'inversion des intégrales elliptiques, les mêmes formules, quel que soit le nombre des racines réelles du polynôme placé sous le radical. Ce n'est pas seulement par là que M. Weierstrass a innové dans la théorie des fonctions elliptiques, comme on peut le voir dans les quelques feuilles, trop concises, publiées, d'après ses Leçons, par M. II.-A. Schvvarz avec un soin extrêmement remarquable. Je n'ai pas manqué de consulter cette publication et d'y prendre un grand nombre de formules.

Tout en adoptant les notations nouvelles, je fais connaître, dès le début, les anciennes. En apprenant ici les fonctions elliptiques, on n'aura pas à craindre de ne pouvoir lire les Ouvrages ou les

2 phexiëhe pàrtib. — thëorir.

les exlrémilés, symélntgues par rapport au point C, des rayons vecteurs correspondants. La courbe est fermée et convexe; elle a pour axes de symétrie et pour diamètres minimum et maximum le diamètre N^N^, correspondant à la corde MoMJ, passant par le centre du cercle, et le diamètre perpendiculaire N , N, .

On conviendra de considérer comme se correspondant sur la courbe et sur le cercle les deux points qui, sur une même droite issue du point C, sont situés d'un même côté par rapport au

point il. Ainsi, sur la figure. M et N se correspondent entre euxj M'ctN', MoCtl^D, ... sont des couples de points se correspondant. L'aire d'un secteur de la courbe, limité par deux rayons vecteurs issus du point C, sera comptée positivement dans un spns de rotation déterminé, et négativement dans le sens opposé. (Une flèche marque sur )a figure le sens choisi pour les aires positives.) Le rayon CN,, dont l'extrémité No correspond au point \lo du cercle, le plus éloigné de C, est celui à partir duquel on comptera les aires. Si le rayon mobile CN, tournant dans le sens positif, après avoir décrit un tour entier, continue son mouvement dans le même sens, l'aire sera considérée comme croissant toujours, dépassant ainsi l'aire totale de la courbe; elle peut croître ainsi sans limite. De même, si ie rayon mobile tourne dans le sens négatif, la valeur absolue de l'aire négative peut croître sans limite. Par cette convention, l'aire d'un secteur, limité par le rayon initial CN, et par un rayon mobile CN, est une variable qui

peut prendre toutes les valeurs depuis — oo jusqu'à + oo , et qui varie d'une manière continue avec le ravon CN. Il en est de même pour l'arc décrit sur le cercle par le point M qui correspond à l'extrémité Ndu rayon vecteur. Cet arc étant compté comme on a l'habitude de le faire en Trigonométrie, avec le point M© pour origine, est nul en même temps que l'aire variable et croît ou décroît avec elle sans limite. D'après les conventions faites, l'aire NqCN et l'arc MqM sont deux variables, dont chacune est une fonction continue de l'autre. De plus, à chaque valeur de la variable correspond une valeur, toujours unique, de la fonction. Soient

Il le rayon du cercle,

0 la distance OC du centre de ce cercle au point C,

/ une longueur arbitraire.

Le rapport constant du rayon vecteur CN à l'inverse de la racine carrée de la corde sera exprimé par /y:>. (R 4- o)]: