CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. (JJ

en pu. Mais p(nu) est une fonction paire de w, comme pu, tandis que p' u est impaire. Donc le terme Bp'w n'existe pas. Doncp(/u/) est une fonction rationnelle de pw seulement.

En second lieu, si Ton envisage p{nu) comme une donnée, et pu comme une inconnue, il y aura pour cette dernière n^ valeurs distinctes. En effet, soil p(nu) = pet. Il en résulte

na = ±: a 4- 2 /ni 0)1 -h 2 ma 0)3 ;

d'où, pour w, les valeurs en nombre infini

(il) M=dl - 4- --0)i-+- - -0)3,

les entiers /W| et m^ étant arbitraires. Si l'on donne à m^ et m^ toutes les valeurs o, i, 2, ... (/i — 1), et qu'on prenne le signfc

-h devant -y on a ainsi des arguments en nombre n^. Pour deux

quelconques d'entre eux,

2mi n

ni la somme, ni la différence n'est une période : la somme, à

cause de la présence de — > qui est indéterminé; la différence, à

cause de ce fait que {m^ — m\) et (/W3 — m\) ne sont pas nuls tous deux, et qu'aucun d'eux, s'il n'est pas nul, n'est multiple de w, les quatre nombres m étant moindres que n.

Tout autre argument U, déterminé par la formule générale (11), donne lieu à la même détermination de pU que l'un des arguments u précédents. En effet, si d'abord on prend

a 2 Ml 2M3

on peut trouver m^ et ms, compris entre zéro et (/* — i), de telle; sorte que M| -f- m^ et M3 4- m^ soient tous deux divisibles par //. Cela étant, U -|- w est une période. Donc p\j = pu. Si, en second lieu, on suppose

a 2 Ml 2M3

on peut aussi trouver m^ et m», compris entre zéro et {n — 1), de telle sorte que Mi — m^ei M3 — m^ soient tous deux divisibles par n. Alors U — u est une période. Donc pU = pu.

Il est donc prouvé que, p{nu) étant donnée, pu a n^ valeurs distinctes, précisément.

La quantité p{nu) est une fonction rationnelle en pw, -^^ — --

Soit p{nu) = [X, donnée arbitraire. Il est établi que Féquation F(:r) — [xO( j:) = o a /i^ racines distinctes (réelles ou imaginaires). Aucune de ces racines n'est multiple, jx étant indéterminé. Au cas contraire, en effet, une telle racine appartiendrait à Téquation dérivée et, par suite, annulerait F<t>' — ^F' et serait indépendante de [X. Elle devrait donc annuler F et <>, et la fraction F : O ne serait pas irréductible. Donc F{x) — ^<P(x) est du degré n^.

Dans les deux exemples calculés (/? = 2 et /i == 3), on a trouvé effectivement un numérateur F du degré n^ ; le dénominateur était de degré moindre; en outre, ce dénominateur, dans le cas n = 2, était p^'-^w; dans le cas /i = 3, c'était le carré d'un polynôme du troisième degré. Ces circonstances s'expliquent aisément.

Si l'on suppose u infiniment petit, pu et p(nu) sont infiniment grands, tous deux du second ordre. Donc F : 4> est infini du même ordre que pu; donc le degré de ^ est inférieur d'une unité à celui de F.

Les racines de ^(x) correspondent aux autres infinis de p(/ia); ce sont les valeurs de u égales à un des arguments i^ suivants

ce sont les /i»'™" parties de périodes. Quand u est infiniment voisin de (', p{nu) est infiniment grand du second ordre. Donc <t>(pw) est infiniment petit du second ordre. Comme ^(pv) est nul, la partie principale de <t>(pw) serait {u — ^')^'(p^)p' ^\ si ^(pu) devait être du premier ordre. Mais, puisque ^(pu) est du second ordre, il faut que ^'(p^-)p'*' soit nul. Le second facteur pV est nul si ç est une demi-période. Dans le cas où n est un nombre pair, cette circonstance se présente en effet, si l'on prend pour /?i| et w^ les nombres zéro ou|^/i; et<I> contient alors le facteur p'^^^. Quant

aux racines de — 'li — j en ce cas, ou aux racines de 4>( pw) dans