CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES

le cas où n est impair, elles laissent pV différent de zéro. Donc ^'{pv) est nul, el ces racines sont doubles. Donc, si/i est pair, le dénominateur <I> est le produit de p'^u par le carré d'un polynôme entier en pu] si n est impair, ^ est un tel carré.

On a vu tout à l'heure que ^{pu) est du degré n^ — i. Si n

est pair, la racine carrée de -jj- est alors du degré ; si n est

impair, la racine carrée de ^ est du degré •

Achevons de préciser ce polynôme, racine carrée de -7^ ou de

<I>, en y fixant le coefficient de la plus haute puissance de pt/, comme il suit :

si n est pair, 4> = p'*wL — t^^iP^) * "^'•••J,

si n est impair, 4> — |^/i(pw) * -f- . . .J . Appelons ^n{u) la racine carrée de <l>, ainsi déterminée :

\ /ipair, l'/iCw) = p'w[— {/i(pa)~«"-r-...J,

' /i impair, ^,i{u) —\n{pu) * -<-... J.

Le choix du premier coefficient a pour effet, comme on voit, d'attribuer, dans les deux cas, à ^/}(£/), quand 11 est infiniment

petit, la partie principale -^îzî •

Voici donc établie l'existence et connue la nature d'une fonction J^/i(w) dont les racines u sont les /i*^™** parties de périodes.

Si maintenant nous envisageons, au lieu de p(nu), la différence p{nu) — pUf qui a, comme p( nu) y le dénominateur ^2( m), la composition du numérateur apparaît immédiatement. Effectivement, pour que p{nu) — pu soit nul, il faut et il suffit qu'on ait

nu = — U-\- 2mia)i -f- 2/7230)3,

c'est-à-dire l'un ou l'autre des deux cas

ami 7.mn

u = Wj-- 0)3,

Î/Wi 2//?:i u — • 0)1 OJ3.

Les racines du numérateur correspondent donc aux (/i -h i)*'*"*^* et

lOO PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

aux (n — lyèmci parties de périodes. Si n est un nombre pair, (n -{- 1) et (n — i) sont premiers entre eux, et ces deux groupes de racines n'ont aucun terme commun. Donc le numérateur doit se composer du produit ^n-\-i ( w) %-i ( w)« Si n est un nombre impair, les demi-périodes appartiennent à la fois aux deux groupes; mais alors la dérivée de p{nu) — j3 a s'évanouit quand u est une demi-période, et chacune de ces racines est double. Donc encore le numérateur contient le facteur ^„4.i(m)^„i(w). Dans le premier cas, ^/i+i et <j/„i sont tous deux des polynômes entiers en pu; leurs

deerrés sont et > dont la somme fait n^. Dans

le second cas, chacun d'eux contient le facteur p'/^, et le produit est encore un polynôme entier en pu, ayant pour degré

Comme n^ est précisément le degré que doit avoir le numérateur, on voit que ce numérateur est 'J'/i+i (w)<{^«i (w), sauf un facteur constant.

En dernier lieu, ce facteur constant nous sera connu par l'hypothèse : u infiniment petit. La partie principalede p{nu) — pu est

(i~"OiJ'' Celle de ^,^(w) est ^^^,. celle de ^„+^(a)%,(^^) est ^^Z^., i,!I-ï^.--T = ^.- • La partie principale de ^j|^ est

donc — i r = — ( -z — i)-T' Donc le coefGcienl est égal à

— 1, et l'on a généralement

^^^i (//)<);„« in)

(i|) p{nu) — j)u--

Calcul de la fonctio^ '^n{u).

Pour avoir entièrement épuisé la question, il reste maintenant à calculer la seule fonction 'i„(w), dont nous connaissons déjà l'expression jusqu'à /i = 4-

Dans la formule d'addition déjà employée pour calculer p(3//), savoir

li{u -\- V) ->r p^U — V) =

{pu~pv)i