CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX PONCTIONS ELLIPTIQUES

remplaçons a par mu et v par nu. Supposons maintenant qu'on mette pour les fonctions leurs expressions en pw, alors le premier membre a pour dénominateur ^m+n^^m-n- Quant au second membre, son dénominateur est ('{^m+i ^m-\ ^l — '|/i+i ^n-\ ^liY- H doit donc V avoir proportionnalité entre ces deux polynômes, dont, nous allons le reconnaître, les degrés coïncident. Cependant, pour pouvoir l'affirmer ainsi, il faudrait examiner avec soin s'il n'exislepas de réduction dans les deux termes de la fraction. Nous éviterons cet examen en comparant directement les deux fonctions

Ce sont d'abord deux polynômes entiers en pu. En effet, pour le premier, (m -h n) et (m — n) sont de la même parité; pour le second, m-hi, m — I sont de même parité, ainsi que (/i-hi) et {n — i); par conséquent, p'u ne figure ici qu'au carré et disparaît. En second lieu, le terme du plus haut degré est, pour le premier, (m- — n^)(p «)'"'■'■'''"'. Le terme correspondant est

Pour ^,„^i^,„i^/« (m«-i)/i*(pM)'«'+«'-»,

et, pour le second polynôme, {m^ — /i^)(pf«)'"''^'''~* comme pour le premier. Il suffit maintenant de reconnaître que ces deux polynômes ont les mômes racines pour reconnaître leur égalité. Or le premier s'évanouit quand (m ± n)u est une période. Quand il en est ainsi, on a w« ^ ±: mu ( * ) et par conséquent ^j^^ = i^'^„^ ; on a, de plus, i(n^^ = '^^m+i et ^,f^i = 'S^m-i si nu ^ mu; si, au contraire, on 'A nu ^ — mw, il en résulte ^„i = '}"»+«» ^«+» ^^ ^/w-i» Donc le second polynôme a toutes les racines du premier.

Si m et /i sont impairs, les demi-périodes appartiennent aux deux groupes à la fois; mais il y correspond des racines simples pour le polynôme en pu. D'autres racines, appartenant aux deux groupes à la fois, existent si (m -h n) et (m — n) ont un facteur commun, c'est-à-dire si m et n sont multiples d'un même nombre v : une telle racine correspond à une v*' "® partie de période. Elle est double dans le premier polynôme, mais elle Test aussi dans ir second; car ^f^ et ^^ sont tous deux divisibles par tj^J.

(') Celte notation a = ô, empruntée à TArithmétique, et qui s'énonce a congru ou équivalent à 6, exprime V égalité à des périodes près.

Le second polynôme ayant toutes les racines du premier, ayant pour racines doubles celles qui sont doubles pour le premier, ayant le même degré et le même premier terme, coïncide avec lui. On a donc cette égalité

Soit, dans cette égalité, m = /i + 1, et nous aurons, à cause de

changeons m en /i -h i et n en /i — i, et nous aurons, à cause de ^2 = — P '")

Nous avons par(i6) et (17 ) deux formules récurrentes extrêmement simples pour le calcul successif des fonctions ^f, ; elles peuvent servir à partir de ^j^s. Ainsi la première, avec /î = 2, donne

La seconde, avec /i == 3, donne

où il faut se rappeler que -—- est un polynôme entier en p m donné

précédemment. Les autres fonctions ^n se calculent successivement sans difficulté.

La fonction y» • son calcul par une formule récurrente.

On peut condenser le calcul en substituant aux fonctions ^n certaines combinaisons qui, d'ailleurs, interviennent naturellement dans plusieurs applications. Posons

on a ainsi Yi=i, y2 = i. La formule (id) s'applique aussi à y comme à ^,

(»!)) Tm+iTm-i =ïw+iTm-iYÎ — Y/14-1 T/i-iï?/M

CHAPITBB IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. I o3

et, par conséquent, on a aussi

( Yi/t = Y«(Y«-HîTî-i — ï'ï-iïw+i)-

Si Ton fait maintenant

on aura successivement

Y.o = (7 — ^) [7'(^ — ^*— 7' ) — ^(7 — ^ — 7')*]> \ Yii = (^7 — ^*— 7') (7 — ^)'— •0'(7 — ^ — 7^)'*-

Généralement, si n n'est pas divisible par 3, y^ est un polynôme entier en x, y\ si n est divisible par 3, y,! est le produit de

x^par un tel polynôme. C'est ce qu'on voit par les formules ré-

currentes, d'après lesquelles y,, est entier en x^ et j\ et d'après la forme (18) de y„^ qui est ou rationnelle si n est premier avec 3, ou

rationnelle, sauf le facteur ^l, si n est divisible par 3.

La considération de y„ fait, en dernière analyse, disparaître entièrement les fonctions elliptiques, et l'on a le résultat suivant:

Avec les valeurs initiales y, = y2= ' j Ya = ^^j y* ^^J'^ ^^ ^^^^ calcule par les formules (20) une suite indéfinie de fonctions y„ : 1° ces fonctions sont des polynômes entiers en x et y y sauf le

facteur x^ quand n est divisible par 3; a" si n est divisible par v, y« est divisible paryv^ 3" elles satisfont à la formule (19).

Il y a même des formules plus générales que (19) et qui s'en peuvent déduire tant pour les fonctions ^j^„ que pour y«.

On peut écrire celle égalité (19) sous cette forme

Yw-H/t Yw— n "(m-^-l "(m—l '{n-i-l^n—l %r -^

"im^n "ini Y«

Les quantités M et N contiennent : la première, le seul nombre m ;

Io4 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

lu seconde, le seul nombre n. Si donc on considère une suite d'indices /??, /î, /?, y, ..., il y aura, entre les fonctions, telles que

(m-hn^m-n ^^,^^ ^^^ divcrs indiccs, des relations correspondant aux

identités entre les différences composées avec M, N, P, Q, . . .. Par exemple, avec trois indices, l'identité

donne la relation

dont (19) est le cas particulier p = 1. Avec quatre indices, l'identité

donne la relation

^n-i-p yn—p 'im-^q "^m-q "^ "^p^m 'ip—m '{n-¥^'{n—q — O,

dont la précédente (22) est le cas particulier q = o. L'identité

(M - N) -4- (N - P)-f- (P — Q) 4- (Q - M) = o donne aussi

/ , X j ï//i-t-/i Ym-n Y p YÎ "^ Y»-p Y«-«-/> Y I Y/«

( "T~ Yp-9 ^p-^9 "^fn Y'» "•" Y^-"» Y^-»-'» Y« Yp — ^»

Cette dernière peut se déduire d'ailleurs de (22).

Cas où n est un nombre composé.

Ces formules fournissent divers moyens d'abréger le calcul quand on veut parvenir à une fonction y d'indice donné sans passer par toutes les précédentes. Par exemple, si l'indice est composé de plusieurs facteurs, on peut mettre facilement en évidence les facteurs correspondants de y. En supposant dans (22) m = aa, n = 6a, pz= boL — (a + b)^, on aura

Ya Ja-hb [7,

Y(a-^-^)(a-P) Ya+A