CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES

Par exemple

YsY3 Y* Wa/ ^* Vy»; ^'' 1 (

Yu = x' (j — r); [y^{3ry— x^ —7')— ^(^ — x —7*)']

tandis que la formule (20) donne, sans mettre en évidence le facteur (/ — x),

Yi$ = ^'î {^y — ^^ - y^Y[y^{}' — ^ — y^) — (y - - xY]

^ (^y ^ X — y^)[iy — x) i'iT — y) - ■ xy^^y^ {.

Théorème sur la fonction yn.

II y a manifestement un autre moyen de calculer les fonctions d'indice composé; car, pour obtenir p{nmu)^ on peut employer la multiplication par /i, appliquée à l'argument mu. Il résulte de là une relation entre ^„(mu) et ^/««(w). Afin d'obtenir explicitement cette relation, observons d'abord que tj>,i(mw), exprimé en fonction de j3w, exige, pour être ramené à la forme entière, d'être multiplié par ^m(u)"*~^' Le polynôme ainsi obtenu a pour racines les fonctions p des mn*'™" parties des périodes ; mais les m*'"**^' parties de périodes sont par là éliminées. Le produit ne donne donc pas ^/««(w), mais cette fonction débarrassée du facteur ^m{u). En restituant ce facteur et comparant les termes du plus haut degré de part et d'autre, on obtient la relation

Mais la considération des fonctions y permet de conclure plus nettement encore.

Le caractère commun aux formules (22), (aS), (24) et à toutes les analogues consiste en une double homogénéité. Il y a d'abord homogénéité par rapport aux fonctions y, puis homogénéité par rapport aux carrés des indices; car, dans une même formule, le nombre des fonctions v et la somme des carrés des indices ne varient pas d'un terme à l'autre. Les formules subsistent donc si Ton y remplace les fonctions par des combinaisons présentant ces mêmes homogénéités.

Formons la combinaison

qui est du degré zéro pour l'une et l'autre des deux homogénéités. Considérons les deux cas particuliers S3 et 84, et posons

Remarquons, en outre, que Ton a 5i = S2=ï« Dans la formule (22), par exemple, supposons remplacés m et n par mp et npj et mettons les 5 au lieu des fonctions y. La formule subsiste et devient

en tout semblable à la formule (19), sauf changement des lettres. D'ailleurs, les valeurs initiales sont les mêmes pour les 3 que pour les y. Donc :

Si, dans rexpression de y„ par x et y, on remplace x et y par \et r,, savoir

(27) Ç^lklA, r,= ^^'y

ceiie expression se change en celle de

On remarquera les expressions de Ç, tj, O;, en fonction des ♦}, savoir

S -d; ^^^'-^-- c-^^pW, ^:w^.

Yî/> rtp

elles ne diffèrent des précédentes (26) et (2^7) que par le changement des lettres.

Sur les racines de la fonction p'u.

D'après l'expression de p" u

on voit que les valeurs de pUy correspondant aux racines de p" iif sont