CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. J

L'étude de ces racines et de plusieurs questions connexes est utile pour les applications; nous allons la faire. Le lecteur désireux de connaître d'abord la théorie générale pourra, dans le Chapitre actuely laisser provisoirement de côté tout ce qui va suivre.

Racines de p'u quand le discriminant est positif (*).

D'après ÙL^=g\ — 27^J>>o, on voit que g^ est positif; les deux valeurs de pu sont réelles; posons

Il en résulte

Le produit de (pVo)^ et de {p' V\Y étant négatif, il s'ensuit que (p'^i)^ est positif, {p's?qY négatif; donc pV| est réel et pVo purement imaginaire. Mais p^i est négatif et pv^ positif. Donc J3^i est dans l'intervalle (^3, e^) et pç^ dans l'intervalle {e^y Ci); ^1 est de la forme a -4- w', « étant réel, et Vq de la forme ioL -f- w, a étant aussi réel, le tout, bien entendu, à des périodes près.

D'après le théorème d'addition (I, 20), on a

(20) ' = lim ^-7 = î-7- .

pU — piU £ = 0 P(W-r-E) — J)M pu

Si l'on y suppose w = i'o O" = ^i? le dernier membre étant nul, on aura

Cette propriété nous conduit à examiner de plus près la duplication de ces arguments particuliers. Pour calculer par, au lieu de recourir à la formule générale, ce qui n'offrirait d'ailleurs aucune difficulté, prenons cette même égalité (29) dont les numéra-

(*) Dans ce paragraphe et les suivants, où la distinction est faite entre les deux signes du discriminant, la notation des périodes est celle des Chap. I, II, III.

Ainsi, pour A> o, w et -r sont réels; pour A < o, w, et —sont réels.

leurs, aux deux membres, deviennent nuls quand u converge vers To ou vers i\, H y a donc, à ces limites, égalité entre les deux membres, si l'on remplace les numérateurs par leurs dérivées

pv — piv p V

et, puisque p"{f=o, on obtient, en mettant, au lieu de aj/ar,

l2p*2V — ^J = 12 p'i' — l^pvp^if,

mais

i2p»p = ^j; on peut donc écrire

O = 12 p^ 2V -^11 pV.p2V — 2i p^V = l2{p2V -^ 2pv){p2V — pv).

Le dernier facteur n^étant pas nul, il s'ensuit

Nous pouvons maintenant préciser To et ç'i. Ayant v^^^ a'\- co', avec a réel, nous concluons de ce qui précède

Le signe de p'v^ est arbitraire; prenons-le positif; alors p'ia est négatif, et 2a peut être choisi moindre que w. Ainsi, en prenant p'Vi > o, on aura ç^z=a-{- co' avec a réel et moindre que ^ w. Bien entendu, il y a, pour Téquation p^' u = o, la seconde racine u = — Vif le tout à des périodes près.

De même, ro= ioL -h (o donne

D'où la conclusion analogue : en prenant - p'vo > o, on aura i'„ = ioL -f- (0, avec ol réel et moindre que