CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. I

Racines de p'u^ quand le discriminant est négatif.

Les calculs précédents s'appliquent encore, mais les conclusions sont différentes.

En premier lieu, au cas «^2<^o, i^© et ('i sont des imaginaires conjuguées.

Au cas ^2>o, le produit (pVopVi)^, étant égal à — ~A, est positif; les deux facteurs ont donc un môme signe. Il est manifeste que ce signe est contraire à celui de g^.

Supposons g2 > o^ gz<, o. En ce cas, i^© et ^i sont, tous deux, réels. Nous pouvons prendre ('o et ^i entre zéro et CO2; alors p'r,, elp'vi sont négatifs, etp'2ÇQj p'ari sont positifs : donc 2(^0» '-^^'1 sont supérieurs à (02. On a donc

i Wî < t'o < ^l < w,.

Nous pouvons encore préciser en considérant la fonction ^3(w) pour les deux arguments Vq et ç^. D'après la relation

jointe à p2i^ = — ^pt», nous concluons

Comme p'^v^o et p'^^i sont de même signe, et pro, pi^i désignes opposés, on voit que '!fz{u) change de signe quand u croît de r„ à

ri. Les racines réelles de à^^iu) sont de la forme — 5— ?• I^ racine

-^ se trouve donc dans Tintervallc i'o» *'i • Supposons maintenant

On passe du cas précédent à celui-ci par l'échange de u en iif\ los conclusions sont donc les suivantes : Les racines Cq et \\ sont purement imaginaires, et on peut les prendre ainsi

"" •" ^^ ~ • "'^>. » • ''■-» • **">. '" '2 1 lit l l

IlO PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Sur réquation p' u = c.

Celle équalion joue un rôle dans diverses applicalions; nous allons étudier ses racines. Les valeurs de pu sont fournies par Féqualion

(3'2) 4p'w — /Ç'iP" — (^3-^c«) = o.

dont le discriminant est gl — ^"(cra-l- c^)^- Si ce discriminant est positif, les trois valeurs de pu sont réelles; s'il est négatif, une seule est réelle. Examinons les divers cas en distinguant suivant le signe de À.

Soit d'abord

A=-- Ai— 27^i >o-

i" Supposons

(33) ^3-i-(^.3H-Ci)î<0.

La constante c est supposée réelle, en sorte que c^ ne peut êlre

inférieure — "^ t/ T "~ ^' r ^"^ ^^^ négatif, comme on l'a reconnu dans l'avant-dernicr paragraphe. La condition (33) se change donc uniquement en celle-ci

Cet argument i^i est la racine de p"w, pour laquelle pu est compris entre eo, ^3', par conséquent (p'i^)^ est le maximum de (p' u)'^ dans cet intervalle; puisque c est supérieur à ce maximum. Tunique racine réelle pu^ de (3 2) est extérieure à cet intervalle et, p'uo = c étant réel, pu^ est supérieur à <?|. Nous avons donc une racine réelle Uq (à des périodes près), et deux racines imaginaires conjuguées W|, f^a*

Quand pu croît depuis Ct jusqu'à -h 00 , p'u croît toujours, puisque p"u ne s'annule pas. En considérant la partie réelle a do V, (i'i = a -h to'), nous avons ici, d'après (3o),

Donc ±: Uq (suivant le signe de c) est moindre que 'ao. La somme des trois racines Uq, W|, W2 fait une ])érlodc, comme il résulte de la proposition générale (I, aj).