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r équation p'u=^c admet : 1" une racine réelle Uq (à des périodes près), qui, étant prise entre — tû et -j- w, est, en valeur absolue, moindre que 'la (3o); 2° deux racines imaginaires conjuguées, de la forme — ^Wo— i^' Ces deux dernières coïncident (à la période 2(o' près) entre elles, et avec ±: v^ (28) quand rinégalité (34) se change en égalité. En ce cas, z devient égal

ve" Supposons, au contraire, le discriminant étant encore positif,

135) c' < -lyç - ^,.

D'après l'allure de la fonction p'^w, rappelée tout à l'heure, il est manifeste que deux racines de (32) sont entre e^ et e^, et une troisième supérieure à e\. Donc, dans le cas de rinégalité (35), U équation p' u -- c admet une racine réelle Uq, qui, étant prise entre — w et -\- (o, est, en valeur absolue, supérieure à ia\

>/' deux racines W| = (i)'-h^i, W2=co'+52, où z^ et z^ sont réels.

On peut ajouter que 5| et z^ ont pour somme — i/©, comprennent entre elles ± a (suivant le signe de c) et deviennent égales à =t a = — ^ Wo, quand l'inégalité (35) se change en égalité.

Soil, maintenant,

I" ^2<Co. La quantité «'ij — 27(«'3+ c^)^ est toujours négative. L'équation p' u = c admet une racine réelle Uq et deux imaginaires, de la forme — 7^4- i^' H n'y a pas lieu de distinguer ici

entre cette iorme — - -{- iz ei cette autre — — -f- Wo -[- i c ; car

(O2 -h (Oj est une période, et l'une des formes coïncide avec l'autre par le changement de z, puisque 0)!^ est purement imaginaire.

a® g2 > o, g^> o. En ce cas, p'Ui ne s'annule pour aucune valeur réelle de pu. Donc p'u croît constamment quand pu varie de ^2 à -i- 00 . Il ne saurait donc exister qu'une seule racine réelle pu de l'équation (32). Effectivement, g^ étant positif, la condition g\ — 27 (s'a + c-)^ >► o est incompatible avec A <[ o. Donc, en ce cas encore, V équation p'u = c admet une racine réelle Uq et

deux imasi inaires de la forme -\- iz,

3** g^i > o, ^3 < o. En ce cas, j3"w, comme on Ta vu, devient nul pour deux valeurs de pu qui répondent à des arguments réels <^oj ^1 (*'o <[ *-i)* Quand pu croît de ^2 à -[- 00 , pl'^u croît de zéro à p'^^i^, puis décroît jusqu'à jV^i'o» et croît ensuite jusqu'à 4- x . Si donc c^ est compris entre pl-v^ et p'-t'i, il y a trois racines réelles u. Si, au contraire, c^ est moindre que p'-t^o O" plus grand que p'^Ci, il n'y a qu'une seule racine pu réelle pour (3^); elle est supérieure à p\r\ dans le premier cas, inférieure à jji^i dans le second. Voici donc les conclusions :

Si Von a g\ — 27(5*3 -H c^)->o, V équation plu = c admet trois racines réelles. Prises entre — a>2 et +(02, ces trois racines sont, en valeur absolue, séparées par i\ et i'o ; la plus grande, en valeur absolue, est moindre que 2(10.2 — i-o); l^^ plus petite est supérieure à 2(0)2 — r, ), toujours en valeur absolue.