CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. Il

OÙ u désigne un argument quelconque, comme v. Au lieu de ii, prenons un autre augument t en posant

Remarquons maintenant que, d'après le théorème d'addition

(I, 25), les trois arguments v, l h n, l t\ ajant une

somme nulle, on a

On voit donc que j^ est une fonction paire de t. Si l'on développaitpf — 7"*"^) ^^ P { ^"0 d'après les formules d'addition,

on obtiendrait pour y une fraction dont le numérateur, ainsi que le dénominateur, aurait la forme A + Bj37, A et B étant fonctions entières de p^; mais, puisque y est une fonction paire de /, les termes Hpt doivent manquer, et la fraction ne contiendra que J3^.

Nous allons maintenant écrire cette fraction sans calcul en cherchant les racines de son numérateur et de son dénominateur.

Dans la première forme (4o) de y, on reconnaît que y ne devient infini que pour w = o et a = — i^, le tout à des périodes près, et nul pour u = Uq et u= Ui. D'après (4ï)> les infinis dey sont

donc ^ = iti - et les zéros t = ±: z. Le numérateur n'a donc pas

d'autre racine que pz, et le dénominateur pas d'autre racine qcrc

p-; par conséquent, on a

^pt — pz

Pt-'P-

avec un coefficient C indépendant de t, qu'il faut encore déterminer. Pour ce but, on fera / = o, ce qui rend pt infini et réduit^' à C. D'autre part, l'égalité (4a) fournit l'expression de^en ce

Il6 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

cas, et nous avons finalement

jiV -4- p' - ^ I ,ov * 'X pt — pz

pv-^p- pt-p^

Le premier facteur au second membre peut s'écrire sous une autre forme déjà employée (29). Employant cette forme et remettant u au lieu de t^ nous pouvons écrire la formule

pu — pv a 'Va/'

^ ' pu — pv ,v / v\ V

OÙ pz a l'expression (Sg). On observera que cette formule (44) elle-même fournit d'autres expressions de p>s, dont plusieurs sont remarquables (*). Par exemple, en supposant u infiniment petit et prenant la partie principale aux deux membres, on obtient

pz

pz^p-^-

On peut généraliser la formule (44) en ajoutant ky une quantité c indépendante de m. Alors {y -+- c) se change en une fraction

du premier degré par rapport à p(w-i — )• Observant ensuite

que, pour 1/ = o, la partie principale de {y -|- c) est la même que celle de^, on a la formule

(46) *- '- hc = a

pu — pv

pa-p-p[u-^-)-p-

{*) Nous recommandons, comme exercice propre à familiariseravec les formules, de faire la vérification directe de l'égalité (44) et de contrôler aussi la concordance des deux expressions de pz.