CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COHMUIfES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES

dans laquelle a désigne un argument qui, mis à la place de (u-^-U

rend nul le premier membre.

Ces transformations, fondées sur la considération des racines et dont nous avons déjà fait usage pour la multiplication, seront développées d'une manière générale dans le Chapitre VII.

Autre transformation de ^"""^ «

pu — pv

Considérons la fonction

^, = 2(ptt — pp)[p(M -4- P) — pi>],

où U est envisagé comme variable. Le premier facteur est infini du second ordre pour ;^ = o, mais le second facteur est alors infiniment petit du premier ordre; de même le second est infini du second ordre, mais le premier infiniment petit du premier ordre pour u = — (>, en sorte que^i devient infiniment grand du premier ordre pour m = o et pour u= — c En outre, y^ devient nul pour tt = i^ et pour m = — 2 i^. Si l'on fait la substitution (40? J^* prend la forme

C'est donc une fonction paire de t, par conséquent une fonction rationnelle de p^ seulement; elle devient nulle pour

U = Vf

et infinie pour

La fraction est donc du premier degré. Elle n'est pas de la forme (46)9 mais en difl*ère seulement par un facteur indépendant de Uj que l'on aperçoit immédiatement par la considération de la partie principale de y^ pour u infiniment petit. Cette partie

principale est -£-^> au lieu de comme dans la fonction (46)'

On a donc, au lieu de l'égalité (46)9

- V^' p„ p„ H-c = a(pM-pp)[p(tt + t>) — pa],

et il reste à connaître c, quantité indépendante de u. II suffit, pour trouver c, de faire u=^v^ hypothèse qui doit rendre nul le premier membre. D^ailleurs

par conséquent c = p"v^ et voici la formule que nous voulions obtenir :

^^ pu — pv p'v pv^*^ r- /i*v / r j

On peut facilement la vérifier par un calcul direct au moyen de la formule d'addition.

Inversion des intégrales elliptiques.

Soit X un polynôme du quatrième degré par rapport à une variable X. Le problème que nous allons traiter consiste à exprimer

à la fols y/X et x sans ambiguïté par des fonctions elliptiques d'un même argument u. On verra plus loin pour quelle raison ce problème porte le nom placé en titre de ce paragraphe. Considérons, comme précédemment (4o), la fonction

^^ ^ "^ pu ~ pv

La formule d'addition

pu-hpv-i-p(u-hv) = --{^ ^- )

peut être écrite ainsi

(48a) jr^—3pv = [p{u-^v)—pv]-^(pu — pv)y

et la formule (47) de cette manière

(486) p'v — 2yp'if = 2[p(u -{-{>) — pi>](pu--pv).

De là on tire l'expression du carré [p{u -^ ^) — P^Y sous la forme d'un polynôme Y du quatrième degré en y,

(49) Y = (^«-3pp)'-v-2(2^pV — pV) = [p(a-f-P)-pM)p. Nous avons de la sorte une variable y et la racine carrée d'un po-