CHAPITRE IV. — PROPRifiTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. I
lynôme du quatrième degré Y exprimés comme on le désire, savoir y par (48) et y/Y par la formule
Mais le polynôme Y n'est pas quelconque, il manque du second terme. En développant la formule (49) et remplaçant pV par 6p^i^'-^g2y on a
(5o) Y = 7* — ^y^pv -h iyp'v-^ g'f — 3p^v.
Il est facile de modifier les formules pour les appliquer à un polynôme du quatrième degré tout à fait arbitraire. Soit un tel polynôme
(5i) X = aoar*-h 4^1^'-+- 6ajar*-t- 4^3^^-ûf4•
Prenons ses deux invariants
( S =aoa4 — 4ai«3-^3a|,
( T = ao ûti ût* -4- 2 «1 aj «3 — a| — ct^al — a} ^4*
On sait, par les éléments d'Algèbre, et l'on vérifie sans peine que, si l'on fait une substitution :r==^-t-/t, les quantités telles que S et T, composées avec les coefficients du polynôme transforme en ^, reproduisent S et T. C'est une partie de la propriété d'invariance. Choisissons h de manière à faire disparaître le second terme. Soit donc
X = ao(^*+ 6a, 7«-+- 4a3 7 -1- aO,
résultat de la substitution x = + r ; on aura
S = aJ(a4+3a.î),
T = aJ(a,a4-ot| — ot|).
Pour identifier le polynôme Y (5o) avec le nouveau polynôme, nous n'avons qu'à égaler de part et d'autre les coefficients de y^ et les invariants. Or, pour Y, on a les invariants
Si = (/Ç'2— 3p*i^)-t- 3p'p-^î,
Ti = — pv{s^t — ^p*i>)-hp^v — p'^v = S'i.
Si donc on choisit les invariants de la fonction elliptique ainsi :
lao PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.
S et T étant les invariants (Sa) de X; puis Targument constant v par les deux relations concordantes
on aura X = aoY. Remplaçant a2 et aj par leurs expressions au moyen des coefficients primitifs, nous avons le résultat suivant : Soit X un polynôme du quatrième degré, quelconque^
soient S etT les deux combinaisons {invariants)
S = ao a^ — iaxai-{-^a\y
T = a^a^a^-^- %aia^ai — a\ — a^aX — af a4.
Si Con prend les fonctions elliptiques ayant les invariants
et un argument constant v par les relations simultanées et concordantes
(54) pi'= -ï > pt'= -3 »
e/ qu^on désigne par u un argument variable, on aura, à la fois,
(55) ' «0 2 pu — pv
( /X = /âi[pM — p(M-f- i')]*
On a déjà eu l'occasion d'observer, pour le théorème d'addition, la forme suivante (p. 3o) :
^ au pu — pv
D'après (55), nous aurons ainsi
dx
>^'^ = ^'du
et, par conséquent,
^al /X ^Uq J /X
C'est de là que vient au problème actuel le nom dWnversion des
