CHAPITRE IT. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES

-r= est un des types des

intégrales elliptiques, dont nous parlerons au Chapitre VII. \^ inversion consiste en ce que, par les formules (55), la variable x est explicitement exprimée en fonction de l'intégrale .

Racines de l'équation du quatrième degré.

Le procédé qui vient d'être exposé pour effectuer l'inversion n'exige pas la résolution préalable de l'équation X =: o. Tout au contraire, il fournit les racines de X et peut être envisagé comme une résolution de l'équation du quatrième degré par les fonctions elliptiques. En effet, d'après la seconde égalité (55), les racines <le X correspondent aux valeurs de u, fournies par l'équation

a H- (^ = rt tt 4- une période, c'est-à-dire

u = h mi(0| -+- mscos,

/ni et nti étant des entiers quelconques. On aura par là quatre valeurs pourx, en prenant les couples mi, m^ ainsi : (o,o), (o,i), (i,o), (i,i).

Suivant une relation déjà employée (2g), on a

p pv p -

A l'argument 11 = répond donc, d'après (55), cette valeur

de X

ai 1 '^ 2

ao 'À ,v

C'est une racine de X. D'ailleurs, par les relations (54), ^ n'est déterminé qu'à des périodes près. Donc les racines du polynôme X sont comprises dans la formule unique

ao 2

p" ( — h mi (Oi -+- ms (1)3 j

p f - -h mj (ui -+- mj (1)3 j

OÙ m^ et m^ sont des entiers quelconques (auxquels il suffit de donner les valeurs 0,0; 0,1; 1,0; 1,1, pour avoir les quatre racines).

Caractères de réalité des racines.

La formule (5^) met facilement en évidence les caractères distinctifs des trois cas : 4 racines réelles; 4 racines imaginaires; 2 racines réelles et 2 imaginaires.

i'*^==5^2-275'3 = ;!6(S'-27T2)<o. - Puisque p(; et p'r

sont réels, l'argument (> est lui-même réel, en sorte que ^v et ^t' -I- (i>i-f- (i>3==:|(>4- (i>2 sont réels, tandis que ^«^ 4- coi el^v -f-ws sont imaginaires conjugués ; donc, quand le discriminant S' — 27 T* est négatif, le polynôme X (à coefficients réels) a deux racines réelles et deux racines imaginaires conjuguées.

2° A >► o. — La réalité de p (^ et de pV n'entraîne pas celle de i^. Nous savons que i^ est réel dans le cas seulement où pi' surpasse ei, tandis que pV est réel encore quand pv est compris entre e2 et es ; en ce cas, (> a la forme a + co', a étant réel.

Ces deux cas se distinguent très facilement par les signes de pt' et de p'V. Pour le montrer, considérons les valeurs de pi' qui font évanouir p'V; soit donc (28)

Nous avons vu quepi'o est dans l'intervalle (^2, ^i), pi^i dans l'intervalle (ej, ^3). La fonction p'V est positive quand pi^ est

indre que 1/ ^' négative quand pi^ est entre 1/ 3 ^*^

i|/^, positive au delà de "l/y •

Puisque pi'o = "l/T ^^^ ^^"^ l'intervalle (^2, e^ ) et que ^i est

positif, on voit que, si v est réel, pi^ et p"v sont positifs.

Si V est de la forme a + w', pv est dans l'intervalle (<?3, ^2). Si

pv est moindre que — ""1/ ^' P"^ ^^^ positif, mais pv est négatif. Si pi^ est supérieur à 1/ ^ ' P"^ ^^^ négatif. Donc, si i^ est de

moin