CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUI<ïBS AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. IsS
la forme a 4- co', l'une au moins des deux quantités pv et p"v est négative.
Ainsi, quand le discriminant est positif et quepi^, pV sont réels, il faut et il suffit, pour la réalité de Vj que pv elp^v soient positifs. Dans les cas opposés, v est une quantité réelle, augmentée de la demi-période w' purement imaginaire.
Si s^ est réel, les quatre arguments -> — h w, — h w , - + w + w'
sont ou réels, ou réels sauf la demi-période to'; p et p' sont réels pour chacun d'eux. Donc, quand le discriminant est positif et, en outre,
(58) a\ — «0^1 >o, i2(a} — aoaj)*— SaJ > o,
les quatre racines de X sont réelles.
Si s? est de la forme a -f- to', les quatre arguments - -f- /nw 4- /iw'
sont imaginaires, et les fonctions p'', p' le sont aussi. Donc, quand les deux conditions (58) ne sont pas satisfaites, les quatre racines de X sont imaginaires.
Pour ce dernier cas, on pourrait craindre l'existence de valeurs particulières de i^, imaginaires et rendant néanmoins une racine réelle. Voici comment on écarte cette petite difficulté. Soit
û = mm -H m' m'
une demi-période. Pour toute racine, m a la forme h û, el
l'on a alors
La formule (48 a) devient, en ce cas,
(59) 7»-3pi' = 2|p^^-^wj— pJ;
elle montre que, six et par suite j' aussi sont réels, pi — h ûj doit
être réel; donc ou bien l'un des arguments -> co' est réel, ou
bien l'un des arguments -> to est purement imaginaire. Aucun de ces cas n'a lieu si [v — co') est réel, ce qui se présente quand, pv et p' v étant réels, v n'est pas lui-môme réel. L'argu-
ia4 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.
ment v^ bien entendu, est toujours envisagé ici comme déterminé à des périodes près.
La formule (5^) nous présente toujours les quatre racines de X comme différentes entre elles. Il n'y a pas de valeurs de r qui rendent deux racines égales entre elles ^ on le voit nettement par la formule {5g). Il ne faut pas s'en étonner: la condition pour l'existence d'une racine double, c'est que le discriminant de X, S' — 27X^5 soit nul. S'il en est ainsi, le discriminant A des fonctions elliptiques est nul aussi, et les fonctions elliptiques disparaissent. Elles dégénèrent en fonctions circulaires (ou exponentielles).
Distinction des racines par ordre de grandeur.
Il est utile, au point de vue des applications, de savoir distinguer les racines réelles de X, dans la formule (67), quant à leurs grandeurs relatives. Pour ce but, nous fondant sur ce que deux racines ne deviennent jamais égales entre elles, nous substituerons à ç une valeur particulière : nous aurons soin de choisir cette valeur particulière Vq^ de telle sorte qu'un argument variable v' puisse aller de i^o k v sans que, dans l'intervalle, aucune racine (67) devienne infinie. Il est alors certain que chaque racine varie, dans cet intervalle, d'une manière continue, et que l'ordre des quatre racines se conserve inaltéré.
Prenons le cas où les quatre racines sont réelles (le discriminant est alors positif). L'argument réel v peut être choisi entre zéro et 2(0. Choisissons Vq=Oj et faisons varier v' de zéro à i^. Examinons d'abord les racines pour l'hypothèse : v' voisin de zéro. Elles sont contenues dans la formule (67), que nous reproduisons ici :
iM
Nous les distinguerons par des indices o, i, 2, 3, correspondant aux quatre valeurs de cô.
i<* û = o. — L'argument v' étant infiniment petit, p" - et p' -
