CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS GOHMUNBS AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES

sont infiniment grands ; leurs parties principales sont

donc la racine est infiniment grande; elle a pour partie principale

2° w = (1)^ (a étant égal à i, a ou 3, et (Oi = (o, (03= co', 0)2 =i (1)''). — Rappelons la formation des dérivées successives dep :

p*'= lapp', p*'= lapp'-hiap'*.

Comme p'coot est nul, on aura

p'"(Oa= o, p"t«>a= I2pwap''tt)a= I2eap''t0a.

De là résultent, pour les premiers termes des développements du numérateur et du dénominateur au second membre de (60), d'après la formule de Taylor,

P'(t«>a-+-^j = jp"'t0a|^i-h2ea^^y...J; puis, pour le quotient.

cnfln, pour les racines,

ar«-4- — =—-,[n-Ca«' » + •••]•

Comme \^ est supposé positif (variant de zéro à (> qui est positif), on voit que Xq est la plus grande des racines, et que les trois autres sont rangées dans l'ordre opposé à celui des quantités ea

Il est d'ailleurs visible, la limite supérieure de - étant inférieure

à la demi-période cO|, que les numérateurs p'' ne deviennent pas infinis, ni les numérateurs p' nuls pour d'autre valeur de v' que la valeur zéro. L'ordre des racines est donc le même pour v'=: o et pour r' = i>. Ainsi, quand les quatre racines sont réelles, et quon a choisi v entre zéro et aw^, ces quatre racines étant désignées par la notation

a, 1 \a___2/ a = o, 1, 2, 3, too— o,

elles sont ainsi rangées

On préfère souvent choisir i^ entre — tO| et -h coi ; alors on a l'ordre précédent si i^ est positif, et l'ordre opposé

si \^ est négatif. On le voit par la démonstration précédente où i' doit être supposé négatif.

Quand deux racines seulement sont réelles et qu'on a choisi V entre zéro et acoa (le discriminant est alors négatif), on a, sui- \>ant la même notation,

La démonstration précédente s'applique à ce cas où x^ et x% doivent être laissés de côté comme imaginaires. Ici encore, si l'on prend v entre — wj et 4- 0)2, on a

Xq^ X^ OU Xi'^ XQy

suivant que v est positif ou négatif.

Variation simultanée de la variable x et de l'argument u.

Une discussion facile, mais nécessaire, va nous montrer comment varie l'argument w, quand x passe successivement par toutes les valeurs réelles. La liaison entre ces deux variables est celle que donne la relation (55)

ao -" 1 p u — pv