CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. I

Pour chaque valeur de jc, il y a, aux périodes près, deux valeurs de w, la solution u= i^ étant rejetée de l'équation (6i). D'après le théorème d'addition (I, aS), la somme des deux arguments u est égale à — v.

Nous allons reconnaître aisément quels sont ces arguments u suivant la grandeur de x. La discussion sera fondée sur l'expression déjà trouvée pour la dérivée de x par rapport à u (56)

dop ( G2) -r- = pu — p( u -h v).

Cette dérivée diffère de X seulement par le facteur constant

y/ô^ ; elle est nulle dans le cas unique où x devient égal à une racine de X. Rappelons-nous que ces racines correspondent aux

valeurs de u ayant la forme u = h ««.

Cas où les quatre racines sont réelles.

Prenons d'abord le cas le plus compliqué, celui où les quatre racines de X sont réelles (discriminant positif); v est réel, nous choisissons cet argument entre zéro et 2b)|. Rappelons que les

racines de X sont

a7o >■ ^j I> ^Tj >- Xx»

Soit, en premier lieu, u = h ^, et prenons / réel, croissant

de zéro à -• La valeur initiale de x est la racine Xq, la plus grande des quatre. D'après (62), nous avons

Cette dérivée ne devient pas nulle; effectivement ses racines sont les demi-périodes, la limite supérieure de t est--<a)|,

et l'on voit que -^ est nul au début pour ^ = 0, mais ne l'est plus ensuite. Elle ne devient pas infinie non plus, sauf à l'extrémité /= -• Son signe est donc invariable, et toujours positif; car, - étant moindre que co^, p' -est négatif. Donc x croît avec t. Aux

mêmes valeurs de x correspondent en même temps les secondes racines de(6i); les premières croissent de à zéro, les secondes

décroissent de à — v. Voici donc un premier résultat :

Quand x croit de Xq à -^ co ^ u croit de à zéro, ou dé-

croit de à — r.

Faisons croître maintenant ^ de - à (i>|. Dans cet intervalle

-j- ne devient pas nul; il a passé par Tinfini, maïs sans changer

de signe. Il est donc positif, et x croît constamment de la valeur initiale — oo àla valeur finale x^. Prenons en même temps la seconde racine u de (61), et concluons que :

Quand X croit de — 00 à X\, u croit de zéro à f- cO|, ou

décroit de — va — (-+a)|j.

Soit maintenant t = is. s étant réel et croissant de zéro à ^ • On aura

Le signe de cette dérivée est encore invariable, dans l'intervalle

considéré, et, p' - étant négatif, ce signe concorde avec celui de

it = — 5; c'est le signe moins. Donc x décroît depuis la valeur initiale Xq jusqu'à la valeur finale x^. Donc :

Quand x croit de x^ à Xq, u-\ — est purement imaginaire,

e^ i I a -h - ) décroit de^ à zéro ou croit de — ^ à zéro. « \ a/ i i

Faisons / = (04 -f- ^4, nous pouvons écrire

dx dx fv \ /v \

sous la forme

dx dx l ^ ^ \ / ^ .\ qui coïncide avec la forme (63), sauf le signe et le changement de v