CM CM
dnw =
cMa H 4- a
Dans le langage habituel, on énonce successivement les trois lettres 5, /î, u] c, /i, u\ d, n, u.
cri;' en
Sur ks deux premières la Trigonométrie nous fournit les renseignements suivants, d'après (i) et (•>-) :
' sno = o, cno = I,
I sn2K = o, cn2K = — i,
(3) { sn(2KH-w)= — snw, cn(2K-t-«)= — cnM,
sn( — w) = — sni/, cn( — z£) = cnM,
snK = i, cnK = o.
Elles sont comprises entre — i et + i et satisfont à la relation (î) sn' w -h cn'M = 1.
Quant à la fonction ànu^ elle est, par définition, toujours positive; son maximum est l'unité et correspond à la droite CMq; son minimum correspond à CMJj ; il est égal à k! :
(Ino = I, (InaK = i,
dn(2K-h m) = dn««, (5) '
|(ln( — II) = dn w, . dnK = A-'.
L'angle CMoM est égal à -^ — '^; son cosinus est donc égal à
snw; de plus, la corde Mo M a pour expression 2 Usines, c'est à-dire 2Rsn2^. Donc la relation fournie par le triangle GMoM('),
CM =CMo -hxMMo — 2GM0.MM0 cosCMoM, se traduit en celle-ci
^Ro *^
D'après la définition du module A*, on a donc
(6) dn-a-h A-* sn*M = I.
En éliminant sn^2< entre (4) et (()), on a cette autre analogue
(') Ici uest supposé entre zéro et K; mais, d'après (3) et (5), si Ton change u en 2mKrfcM, m étant un nombre entier, la formule (fi) reste inaltérée: elle est donc entièrement générale. Même observation pour la formule (8a) de la page 7.
Quand il y a lieu de rappeler le module A:, on écrit sn(w, A) au lieu de sn u, et ainsi des autres.
Périodicité.
Les trois fonctions elliptiques sont périodiques; les deux premières ont la période 4^., la troisième a la période aK. Néanmoins, on appelle aK \r période. En l'ajoutant à l'argument u, on reproduit les fonctions sn et en changées de signe, La période joue le même rôle ici queir en Trigonométrie. La quantité K est la demipériode.
Argument ^K-
\Ajig, 1 fournit encore le renseignement immédiat suivant :
. K CM, y/lft»-^' . /R-5 /p et, par suite, d'après (4) et (6),
sn - = -I = = — ,
en
K , / JK^ - / A'
Addition de la demi-période.
Par suite de la symétrie qu'offre la courbe, toute droite passant par son centre C la partage en deux parties d'aires égales. Soit ii l'argument qui correspond à un point N de la courbe; au point N', symétrique de N par rapport à C, correspond l'argument u + K. La propriété du cercle, exprimée par l'égalité
