GM.CM'=R

fournit donc celle-ci

(R H- o)î dnw dn(a-4- K) = R*— 8«

ou, d'après la définition du module complémentaire A',

(8) dn(w-HK)=T^.

' an w

Dans le triangle CMoM, on a déjà observé que l'angle en Mo est - — ©5 son sinus est donc cnw. L'angle en M est le supplément

CHAP. I. — FONGTIO.NS ELLIPTIQUES A DISCRIHINANT POSITIF. 7

de la moitié de Tangle mesuré par l'arc de cercle Mo M' dans le sens positif. Cette moitié est, suivant la définition, V amplitude correspondant au point N', c'est-à-dire am(w + K). Le sinus do l'angle en M est donc »n(w-|-K). La proportionnalité des sinus aux côtés opposés, dans le triangle CMoM, fournit donc la relation

CM en u

GMo ~~ sn(i/-hK) Par définition, le premier membre est précisément dnw. Ainsi

cni^

(8a) sn(w-f-K) =

i\ïiU

Changeant, dans cette dernière relation, w en w -H K, remplaçant sn(w-H2K) par — snw, et dn(i£-HK) par l'expression qu'on vient de trouver, on obtient

(86) cn(i/-+-K) = -^^.

an a

Changeant «en — u dans les trois relations (8), (8«), (86), on a

dn(K — w)= -J^y

anu

sn(K — u) = -t — >

anu

... k'snu

cn(K — u) = -5 — •

an a

Pour le calcul des fonctions elliptiques, ces trois relations, jointes à (4) et (5), permettent de ramener l'argument à être toujours compris entre zéro et^K, comme, en Trigonométrie, l'anglr

peut toujours être ramené entre zéro et 7 pour le calcul des fonc-

tions circulaires (*).

Dérivées.

Soit 6 l'angle du rayon vecteur CN avec le rayon initial, angle compté dans le sens positif; la dérivée de l'aire de la cï)urbe, par

(*) Dsins les Fundamenta nova de Jacobi et beaucoup d'ouvrages subséquents, K — u est appelé Vargument complémentaire ; son amplitude est appelée la coamplitude de Uj on sorte que sn(K — u)etcn(K — u) sont dénotés sin coam u, cos coam u ; quant à dn u et dn ( K — u ), ils sont dénotés par A am u et A coam u .

CA/ no

/L-éS

Z^ Xe*

rfn

rapport à 0, est |CN . D'après la définition de u et l'expression du rayon vecteur CN, on a donc

du __ Rj-^ 0

Soient ^ et cp' les demi-angles ^MoOM et ^MoOM' comptés

Fis. 2.

dans le sens positif, on a, d'après les propriétés du cercle,

et, par conséquent,

6 = J(29 H-2îp' — Tt)

Soit maintenant un second rayon vecteur CNj, coupant le cercle

au point Mj qui correspond à N,, et au second point M,. On a

la relation