CHAPITRE V. — LA FONCTION Çm

Cette dernière reste toujours finie, quelJe que soit la valeur de l'argument réel w, et on peut l'intégrer entre des limites quelconques. Elle a d'ailleurs, comme pu y les deux propriétés

Soit maintenant F{u) son intégrale, et posons (3) F(«)= f f{ii)du,

(4) Tlr=F(t0)= f /{U)du.

La fonction F(w) est définie sans ambiguïté par la relation (3); d'après les relations (2), elle a aussi les propriétés

(5) < F((o-i- M) -i- F(to — m) — 2r,,

Comme F(m) a été composée en introduisant un terme trigonométrique étranger, il convient maintenant d'en retrancher Tinté grale de ce terme, et voici la nouvelle fonction Ç(w) que nous introduisons

(6) LU — — cot —

. TZU

2(0 sin —

du.

Elle a les propriétés suivantes :

^"^ < Ç(a--2(o)=Ça--2r.,

Comme F(u) est toujours finie, Çw devient infinie avec le terme Irigonométriquc. Donc Ç// est infinie pour u='iniM^ m élanl un entier quelconque. D'après (6), on a

(8) \\n,Uu-^\-.o

lizzO\ " /

l36 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

et, d'après la troisième égalité (7),

(9 lim (tu ) = 2m7).

M=îmci)\ w -irruùj

C'est, au surplus, une fonction bien définie, sans aucune ambiguïté.

Développement de 2; u suivant les puissances ascendantes de u.

A l'égalité (6) on peut en substituer d'autres plus simples, où Jes termes trigonométriques sont remplacés par des termes algébriques, par exemple

(10) Ça = 1- / (-;— PMJ^M.

Il faut remarquer d'abord que le second membre n'a de sens que si l'intégrale reste finie. Cette égalité (10) exige donc la condition

Sous cette réserve, l'égalité (10) a lieu effectivement; car f Ça — -j et Fintégrale ont même dérivée (~ — P^p d'après (7),

et même valeur pour u = o, d'après (8).

On peut employer celte formule (10) pour développer ^u suivant les puissances ascendantes de //. Nous avons trouvé (IV, 4)

et nous en pouvons conclure

(II) ru.= L — il— — ^!^— ^î ^ 3 ^1^3 ^

"* M 20 3 28 5 2*. 3. 5' 7 2*.5.7.ii 9

Un tliéorcme général {*) nous enseigne que cette série Çw converge dans la même étendue que la précédente pu; mais nous ne ferons pas usage de cette série (i i) pour généraliser la fonction Ç. Remarquons seulement que l'homogénéité de pu se traduit dans

(*) Pour une série procédant suivant les puissances d'une variable, à exposants entiers, croissants et positifs, le cercle de convergence est commun à la série cl à la série des dérivées.

GBAPITRE V. — LA FONCTION Çf/. 107

la série pu par ce fait : dans chaque terme la somme des indices des lettres g, diminuée de la moitié de l'exposant de u, est toujours égale à 4- I . Dans la série s //, celte même somme algébrique» est égale à |.

Homogénéité.

Ce caractère de la série (i i) se traduit par la relation d^iomogénéité

(12) H J^' ^^^^' ^^^j = /kC(";^i»/S^3),

([u'on peut aussi déduire de la définition (6). 11 suffit, à cet eflcl,

de se rappeler que, changeant //, «"2, g^ en —, g^l'-^j 5^3!^'^» ^'

faut aussi changer 10 en -^ir, et que ces changements transforment p en [x^.

La constante t^.

Nous avons déjà introduit cette constante r^ •= Çw. On peut la définir par l'égalité (10) :

(.3) "'^Ji^X (i-^")''"-

Remarquons que r^io est, au point de vue de Thomogénéité, une quantité de degré zéro. Quand on remplace g2 et ^3 par^2j^*'^ <"' ^3[x', il faut remplacer r, par r^^,^^ comme Ç par î^y/fx.

Addition des arguments.

La formule d'addition de pu sous la forme (I, 24), qui a été utilisée au Chapitre IV {Inversion des intégrales elliptiques)^

pu — p{u -+-(♦)= — j- ' — '

2 au pu — pv

conduit à l'addition des arguments pour Cm. Ecrivons-la comme il suit

^ rv/ \ VI (l \ p' U — p' V

au^^ ^ au x pu — pv

et concluons que les deux fonctions, dont les dérivées sont ainsi égales, diffèrent seulement par un terme indépendant de u.

l38 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Pour trouver ce terme, développons chacune des deux fonctions suivant les puissances ascendantes de //

Ç(m -\-p) = Çt» -t- n^\' . . ,= l^v — iipv . . .,

En nous bornant aux trois premiers termes, nous avons donc (i4) r,{u-\-v)— Cm — Ïï' =— - —upi-h,...

D'autre part, -

iip'u — p'r) =- — ^ —tP'^ -^- . • »

(lia) ^-— = apt'-f-....

'À pu — pv II *

La comparaison des termes aux seconds membres, dans (i4) et (14^5), permet donc de conclure la formule d'addition

/ rx y/ .Y y * p' U — p' V

^ -i pu — pv

Voici une conséquence dont nous aurons à faire un fréquent usage. Changeant r en — r et ajoutant membre à membre,, on voit disparaître î^i^dans la somme JJr -h Ç( — ç) = ^i^ — Çi^ =^ o^ el il reste

(16) ç(m 4-(,)^Ç(',^^,) — 2;,^.-= ILif,

pu — pv ou, par un simple changement des lettres,

pu — pv

Un corollaire.

Le corollaire suivant , relatif à la seule fonction p, est curieux

en lui-même et, de plus, va bientôt nous être utile. Pour abréger^

écrivons

(17) - ' ^— =iu, V),

'1 pu — pv

CBAPITRE V. — LA FONCTION Ç//. iSg

Prenons quatre argumcnls Uy r, W|, r|. Nous avons, d'après (i 5),

el, en retranchant ces équations membre à membre,

Mais, toujours d'après (i5), on à

Ç(w-f-Wi)— Cm H- Çmi -f-(M, W|),

— Ç(// -4- r) =— Çw — Çv —(m, v),

— Ç(w,-f-r,) = — Çî/| — ïi^i — (wi,^'i).

Ajoutant ensemble ces dernières égalités, comparant le premier membre à celui de (i8) et observant qu'au second membre les quatre- symboles Ç disparaissent, nous avons Je corollaire en question

09) (w, wi) -h (r, t^i) -H (^^ -+- "i, r -i- i^i) =(w, p)4-(mi, Vi)4-(M-4-t^, Wi + ^'i).

Dans cette égalité (19), les symboles ont la signification (17). C'est là une identité qui se trouve prouvée pour le cas où les quatre arguments sont réels, hypothèse introduite dans notre analyse par la considération de la fonction Ç, que nous connaissons seulement pour les arguments réels; mais aucun doute ne peut exister sur la généralité de la formule (19), qui s'étend certainement à tous les cas, que les arguments soient réels ou complexes. On s'en convainc par un raisonnement pareil à celui qui a été employé au Chap. II pour des cas analogues. Au surplus, une vérification directe s'offre d'elle-même. Rappelons-nous que (//, v) a pour dérivée, par rapport à N^ pu — p{n-\-v). Nous voyons alors que chacun des deux membres de (19) a, par rapport à w, pour dérivée

pu — p ( // -f- M I -h r -+- t'i).

Les dérivées des deux membres, par rapport à «/, sont égales enlre elles; et il en va de même pour les dérivées par rapport à chacun des autres arguments. Les deux membres diffèrent donc seulement par une quantité indépendante de ces quatre arguments. Mais ils sont identiques entre eux quand, par exemple, /^, = r. Ils sont donc constamment égaux.

l42 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

La définition (26) de ^(11 -j- v) est la suivante :

Ç( u -h r) =r Ç(a — ^;) -- ;(*a -t- l'P) -+- (a -^ ^, la -:- i^).

En y employant le théorème d'addition (i5) démontré pour les arguments réels a, b et pour les arguments purement imaginaires /a, £ p, nous pourrons l'écrire ainsi

^^^^ i -f-(a, b)-^{ioL, i3)^(a-+-^, l'a-,-*?).

D'autre part, le second membre de la formule (i5), dont nous voulons vérifier la coïncidence avec l'expression (29), est ici

Ç(a -f- îol) -■- J(t — i^) H- (a — ea, b — tp).

Suivant la définition (26), ceci est égal à

En comparant cette quantité au second membre de (29), nous voyons que la différence est égale à

(a, 6)-+- (ta, tp)

-4-(a-t-6, ta -h ip) — [(rt, ta) H- (6, t3)-f-(a- - ta, 6 -i- tp)|.

Cette différence est nulle d'après le corollaire (19), où l'on change les notations en y mettant u = a, W4 z= b, v = /a, r, =: i p. Donc, le théorème d* addition (i5) et ses conséquences (16) et {16 a) sont exacts pour les arguments complexes.

Infinis de la fonction }^u.

Jusqu'à présent, tous nos résultats s'appliquent quel que soit le signe du discriminant. Voici maintenant une question où va s'accuser une différence entre les deux cas que présente le signe de A.

Nous avons reconnu que Ça, où a est réel, est infini pour les valeurs de a multiples de 2(0, et non autrement; et de même îji'a, où a est réel, est infini pour les valeurs de /a, multiples de 210', et non autrement.

Quelles sont les valeurs complexes de u=^ a -i- ioL qui rendent infini î^w?

La définition (26) répond à cette question, et l'on rencontre la