CHAPITRE V. — LA FONCTION Çw. l

circonstance déjà remarquée au Chapitre III {Infinis de pu) : quand le discriminant est positif, la quantité

(Oj lOL) — - =— r-

'À pa — pifx

ne devient infinie qu'avec pa ou picL, En même temps Ça ou Ç^a devient infini. Donc, en ce cas, les seuls infinis de %u sont les périodes 2/na) -h 'im'to'.

Mais, si le discriminant est négatif, (a, la) devient infini pour pa=: pioL = e2f et il correspond pour u les valeurs

u = {im H-i)(02-h(2/n'-4- i)tOj.

En conséquence, Çw devient infini pour les valeurs

où m et m' sont des entiers d'une même parité. C'est le fait que nous avons trouvé, au Chapitre III, pour pu. Introduisant alors les demi-périodes imaginaires conjuguées iO|, 103,

(•)• — (O', (Oj -+- (ol

(Ui = — ^ , W3 = — - — ,

nous avons rétabli l'harmonie en mettant les infinis de pa sous la forme (a/ni w, 4- 2.m^iù^), Ce sont aussi les infinis de Ça. Il reste à montrer que w, et 0)3 jouent aussi le rôle de demi-périodes par rapport à Çw; ainsi, comme cela se produit pour o) et w', quand en ajoute 20)1 ou 20)3 à Vargumenty la fonction Ç se reproduit augmentée d^une constante.

Dans la formule (16a) supposons p = Wi, et rappelons-nous que p'iùx est nul. Nous aurons

ou, changeant w en (w + iO| ),

C'est, pour la période 210,, l'expression de la propriété dont il s'agit.

La nouvelle constante ÇiO| ^r,, s'exprime par les précédentes 7^2 et Tij (nous rétablissons ici les indices 2, pour le cas du discriminant négatif, à l'égard de r^, r/, comme à l'égard de w, w').

l46 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Les deux membres ont tous deux, en effet, pour dérivée

et sont nuls, tous deux, pour u = o.

Cette égalité (34) exige, avons-nous dit, que, parmi les quantités (/ — (^), il n'y ait aucune période. S'il s'en trouve, nous pouvons remplacer la formule (34) parune autre, comme nous Tavons fait, par exemple, en employant l'égalité (lo).

Soient (v, (V|, ... ces périodes : nous écrirons

*V ' * mm £% »w* ^« ■ smt «J .« # v ■

U — i' — W V -7- iV u — V — W| V ■+■ Wi

Jf ;; r, -+- -. -r -f- . . . — p (w — P) c/tt.

L'intégrale reste toujours finie, les deux membres ont encore même dérivée — p(N — r) et même valeur initiale zéro pour u = o.

Mais ici, comme dans la formule (lo), il faut que u soit limité; car, s'il en était autrement, iv-j-amw^ u'i + amw, ... seraient encore des périodes à éviter; leur nombre, tant que // resterait indéterminé, serait indéfmi, et la formule (35) ne pourrait subsister : il la faudrait changer en une autre, analogue à l'égalité (6). Voici un exemple, où v est supposé purement imaginaire et, comme tel, remplacé par ict. :

Z(u — ioL) -^ ^la = : — \- -. — r- / , 7^-. — p(u — ta) du.

u 17. 17. ./y l(ll — l7)^ '^ J

On y suppose

ces inégalités ne doivent pas d'ailleurs se changer en égalités, et Ton veut, bien entendu, pouvoir y faire varier a dans ces limites. Quelle est alors la limite supérieure de u ?

On a tenu compte de la période zéro, mais non pas d'autre. Si donc le discriminant A est positif, on devra supposer en même t^mps

(37) — 'àU) <^U <^l(x).

Si A est négatif, il faudra éviter les périodes 2(0| et 20)3, et