CHAPITRE V. — LA PONCTION Çm

Cet arc est parfaitement déterminé. En effet, x varie directement de zéro à - sans devenir infini dans Tinlervalle : c'est la

définition même de l'intégrale. L'arc variable, dont la tangente est a:, part de zéro et aboutit à sa valeur finale sans passer, par

conséquent, par ± - • L'arc égal à l'intégrale est donc compris

entre et H — : il a d'ailleurs le siene de - •

Revenant à notre objet, nous avons maintenant l'égalité 27) -î- = 2arctangT

Dans cette relation (44) > changeons gz en — ^3, ce qui entraîne le

changement de — en 10 et de 10 en -r > ainsi que de */) en i't\, Echan-

geons en même temps les lettres i^ et a dans l'intégrale, et nous aurons

-xirîtù = 2arctang-

Ji du I d^l ;-— -h 7 U-— — p(a — lu) - p(x -f- iu) .

Mais les relations

(a — m)* (a -h ta)* (a -4- ti/)* (a — ii)*

p(a — iu) = — ii{u -4- ifa), p(a -h iu) = — p(a — «a)

permettent d'écrire le résultat sous cette autre forme

2i7) (I) = 2arc tang -

— / du \ di\ :—- H :-— — p(a — l'a) — p(a -+- it) .

Si l'on compare les deux intégrales qui figurent dans (44) et (45), on reconnaît que les quantités intégrées coïncident entre elles; la différence porle seulement sur l'ordre des intégrations.

l5o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Mais la quantilé intégrée étant toujours finie dans le champ des intégrations, l'ordre rsl indifférent, et ces deux intégrales n'en font qu'une. Elles disparaissent donc si l'on ajoute les deux égalités membre à membre; d'ailleurs

arc tangT -4- arc tang - =r - ,

à cause de la manière dont sont déterminés les deux arcs. On a, par conséquent, la relation