CHAPITRE V. — LA FONCTION Ctt. l5l

La conclusion est donc

(49) ^«^2 — 7)';jti)2= iTc;

on trouve ici une constante double, it: au lieu de — • Mais, d'après (3i), nous tirons de là

(5o) TQ|W3 — 7180),= —-.

Ici encore, on le voit, les demi-périodes o),, Wj, avec A < o, jouent le même rôle que lo, lo' avec A > o.

Étude de la fonction 4>(a, a) = / [ Ç(a -+- ta) -h Ç(a — ia)]û?a.

Première propriété.

L'analyse précédente s'étend immédiatement. Considérons la fonction suivante

(5i) *(a,a)=/ [;(a-+-ta)-i- Ç(a — ia)]rfa;

c'est, comme on voit, une fonction réelle de a et de a. En mettant, pour abréger,

nous pouvons exprimer <I> par une intégrale double d'où a disparu Ç. Ce sera, d'après (Sg),

OU bien, en changeant la variable d'intégration dans l'intégrale simple,

a (53) *(a,a)=y^^^H.y* dru j\a^{a, n).

C'est à dessein que nous laissons subsister l'intégrale simple. 11 est essentiel de se rappeler les limites imposées à a et a; ce

l5a PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

sont les mêmes que pour w et a dans (Sp), savoir : Si A>n,

Si A < o,

Pour le cas du discriminant négatif, on a le choix entre les limites (55) ou (55 a).

Considérons, en môme temps, la fonction <I>|, semblable à <I>, mais obtenue par le changement de ^3 en — ^3, et échangeons-y les lettres a, a; en conséquence,

f [Ç(a -4- ia) -h Ç(a - iaS[da.

Sous le bénéfice des restrictions (54) ou (55), on aura aussi

(5;) 4»,(a, a)=/ 7— ^i -H / da j t/a^;,(a,a),

il, (a, a)= ^ r-rr -h ; :— " — p(a — l'a) — p(3t -î- ia)= — <};(a, a).

Par conséquent, on conclut, comme dans les deux paragraphes précédents,

*(a,a)-H<ï>,(a,a) = ajf 71^^ -^ - j^ ^T^iyi-

Mais on a, en faisant ;' = -,

* ûfr r^^* dx

et le signe de la limite supérieure coïncide avec celui de -• Réunissons les deux intégrales, nous obtenons

r' dx r=^' dx r^' dx t