CHAPITRE V. — LA FONCTION ^U. l

Voici donc la propriété que nous trouvons

(58) *(a,a)-^cï>j(a,a)=±:ir;

le signe du second membre coïncide avec celui de -> et a, cl sont

renfermés dans les limites (54), (55) ou (55 a).

La somme (58) est donc une fonction discontinue, passant brusquement de -t- 7C à — 7t quand une des variables passe par zéro. On peut de plus observer que, d'après la définition (5i), ^{a, a) est égale à zéro quand un quelconque des deux arguments est nul; aiusi

(Sg) *(o, a) = o, 4>(a, o) = o.

La somme (58) passe, disons-nous, brusquement de 4- iî à — tz. Au moment du passage, elle a la valeur moyenne zéro.

Cette discontinuité ne doit pas surprendre. Elle ne tient pas à la nature des fonctions elliptiques, mais elle est dans Tcssence mêmr des intégrales définies. On a vu qu'elle se trouve également dans la somme

OL n

Nous allons procéder à une étude de la fonction <I>, en nous proposant de reconnaître comriient elle varie quand a et /a s'augmenlent des périodes, et comment aussi la relation (58) doit être modifiée quand a et a sortent des limites (54) ou ( 55), (55 a).

Remarquons, comme conséquence immédiate de la définition (5i), les deux égalités

!*( — a. ol) = — *(a, a), 4>(«,-a)=-*(a,a).

Addition d'une période au premier argument de 4>(a, a).

La relation (27),

Ç(a -4- 2moj) = Ça -4- a/mrj

donne immédiatement, d'après la définition (5 1),

4>(a -h 2/7110, a) = / [ ^ mTj -4- Ç(a -+- ta) -4- Ç(a — *a)] doLy (Cl) *(a -h amto, a) = 4/wr<a-4- *(a, a),

l54 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

formule par remploi de laquelle le premier îirgument peut être ramené entre les limites ( — co, -f- eu), ou plus généralement entre lieux limites distantes d'une période 2 eu.

Expression de 4>(a, 3) quand l'un des arguments

est une demi-période.

D'après la relation

Ç(o> -H il) -T- ;(w — il) = aT„

•on conclut de la définition (5i)

(62) 'Kw, a)— 2T,a.

Semhlablcment, pour la fonction 4>j, obtenue par le changement de gz en — «^3, changement qui entraîne celui de co, y,

en -r» £7/, on a

-^, a\ = 7.ir{a.

On ne saurait trop rappeler que co' et r/ sont purement imaginaires^ par conséquent, — et iT\ sont réels.

Pour obtenir maintenant 4> ( ^, -r ) » recourons à la formule (58).

En supposant, comme cette formule l'exige, a entre les limites (5^) ou (55), suivant le signe de A, nous pouvons l'écrire ainsi, en

y faisant a = — ,

La quantité s sera l'unité positive ou négative suivant que a sera positif ou négatif. En outre, il faudra supposer s = o quand a est nul lui-même, puisque les deux fonctions <I> et <!>< sont alors nulles; mais, c'est là un trait essentiel dans ces discontinuités,. s doit être -considéré comme égal à ± i quand a est, non pas nul, mais infiniment petit. Cette définition de £ est rappelée par les relations

Ceci entendu, nous concluons de la derniènî égalité et de (62 a)

*t* la^ —r\ = £7r — 1 ir{ a.