CHAPITRE V. — Là FONCTION Çm. i

Mais ici a est limité, comme nous Tavons dit. Pour affranchir a de ses limites, substituons cette expression de 4>(a, — ) au second

membre de (6i), où nous prendrons a = -r- Nous aurons ainsi

63) */a-4-2mco, -t\ •= \mr^—z — aiTj'a -i- eir.

Soit a-|-2mci) = 6, les conditions (54) ou (55) deviennent respectivement

2(m — i)w < 6 < a(m-i- i)u), si A > o, (2m — i)a>2< 6 < (am -i-i)(Oj, si A < o.

La dcfînition de s devient

s = d:i, e(6 — 2/na))>o; e = o si 6 = 2m(o: et l'égalité (63) s'écrit sous la forme

*p I 6, -r I = ^mt^ -r — 2ir/(6 — 2wto)-f-e7r = 4m-î :— î 2iT) o — vk.

Remplaçons maintenant r-5 — par - ou par u, suivant le

signe de A, et distinguons les deux cas. Pour celui où A est positif, on pourra limiter b dans un intervalle de grandeur ato, au lieu de 4ci), comme cela a lieu dans la formule ci-dessus. La quantité s n'aura alors que les valeurs + i ou zéro. Mettons, en outre, a au lieu de 6, et résumons le résultat :

/ A > o, 2ma)^ a < 2(m -+-i)to, <64) { *(a, -7-1= — 2i7)'a -+-(2mH- e)::,

\ s = i, sauf au cas a = 2m(0 où e = o.

A < o, (im — i)u)j< a <(2/n -h i)u)j,

e= — I si (2m — î)a)2< a < 2ma)|,

E = o si a = 2mu>2,

E = -hi si 2ma)j< a < (2/n-+-i)tx)i.

A ces dernières formules il convient d'en joindre encore une, rela-

l56 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

tive au cas où a est de la forme(2/;ï -h i)î*)2. D'après (6i) et (62), 00 a

{im -h l)U),, -^ = 4/^7^, —^ -h 2T^i ~ = 2(2/?l-+- l)7)t ~-

On peut écrire sous une autre forme

' ^ — 2(2m -4- !)*>/, (Oj-h (4m 4- 2)7t.

D'après la formule (65), quand a passe, en croissant, par la valeur (2 m 4- i)(i>2, la fonction 4>( r/, -r^ j -h 2/7)!ja subit un changement brusque, de(4/^i -f- i)Tà (4 m -t- 3)7:. On voit, par(ti6 a), qu'au moment du passage elle acquiert la valeur moyenne (4/wH- 2)7:. Le même fait a lieu, quel que soit le signe de A, quand a passe par les valeurs 2mco, comme on le voit immédiatement dans les formules (64) et (65).

Addition d'une période au second argument de <l>(a, a). Considérons l'intégrale

Si m est pair, changeons a en a -f- /?i -^; la relation (m pair} H // :'- /;i -r ] = JJm =i

donne immédiatement I;,, = I^ = <P ( r/, — ) •

Si m est impair, changeons a en (a/i -j- 1) -r — a; la même rcla-

tion donne encore I/,i= Iq. Ajoutons ensemble Iq, Iir • • •? Iw-i- La somme est égale à m\o\ mais c'est aussi Tintégrale prise depuis

zéro jusqu'à m-^> c'est-à-dire <ï>(^/, m —y Donc