MM, CM

M'M'i CM'i d'où, si M| est infiniment voisin de M,

^ CM ^ rf'f ~ CM''

>^ d^ -H €/?' MIVT Mivr

r/f ^ d^ ~ CM" ~ (K-i-8) dntt

Mais les précédentes donnent

du R -4- 0 d^T^' "■ "SOT"

Multipliant membre à membre ces deux dernières et remplaçant ^ par am/^, on a donc

d am w ,

— 7 = dOM.

Do là résulte

d sn H d sin arn il d am a ,

— i — = — — - — = cna (In M,

du d arii/t du

d cnu dcos^mu d amu ,

— 5 — = — ; — , — = — sniiun</.

du d uiu u du

Enfin, en prenant les dérivées dans la relation (G),

, d i\nu ,^ d snw

lin u — , — -t- a:* sn u — , — = o, du du

ddnu ,.

- -, — = — a:* sn u en u, du

Ainsi, en résumé, les dérivées des trois fonctions s'expriment chacune par le produit des deux autres fonctions, sauf un facteur constant :

-y- sna = cna an m, du

(9) < -j- en M = — (In u sn m,

-,- (In a = — A* sn u en u, du

Dégénérescence des fonctions elliptiques.

Quand le module k se réduit à zéro, on a vu, par la définition, que la courbe (G) se réduit à un cercle de rayon /; am w se réduit à w, SDU et cnu à sinwetcos^/, et dnw à l'unité. Quanta aK, rapport de l'aire totale de la courbe (G) au carré /-, celte quan-

lité devient tu; ainsi K se réduit à -•

Voyons maintenant ce qui se produit quand A' devient égal à l'unité. A cause des relations

dn' w = I — k^ sn' w, en' m = 1 — sn' a,

qui coïncident alors (A* = i), dn// et cnw ne forment qu'une seule et même fonction, tant que u reste compris entre — K et K, li-

lO PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

mites dans lesquelles cn;^ est positif. Les équations différentielles (9) deviennent donc

H De là résulte

— en' M, -7- en a — — en a s ' du

snw en'i/"i-sn'M i

en u en u en u

d du

I sn u cïiu cnu

*<i) Ainsi étant désigné par^', — par j:, on a

enw ^ * '^ enw

t^ dy dx

«» N En outre, pour w = o, on doit avoir j- = o, x =i\. Ces condi

tions initiales déterminent complètement jt, v ainsi :

^ Donc, lorsque A* se réduit à Tunité, les valeurs limites des fonc-

tions elliptiques sont

\ qU g— I* «j

"* X: = i, snw = î enw = dnw= > K = 00 .

' e« -i- ^— tt /»« 4 /►— M

* La restriction faite tout à Theure, exigeant que u soit entre

^ — K et K, disparaît; car l'expression de en a montre que cette

^* " fonction ne devient jamais nulle; c'est qu'effectivement K est de-

>1\ venu infiniment grand. On le voit bien sur la fig, i. Le point C

*: J est sur la circonférence du cercle; la corde CM, devient nulle, el

•^ le point N, s'éloigne indéfiniment. *

Addition des arg^uments. Théorème de Jacobi.

Dans l'intérieur du même cercle O que précédemment, considérons ^fig> 3) un second cercle c, ayant son centre c sur le rayon qui contient déjà le point C. Sur le cercle intérieur c, prenons le même sens de rotation que sur le cercle O, et, en chaque point T du cercle c, menons la tangente dans le sens opposé à celui de la rotation positive. Cette tangente, ainsi dirigée, rencontre le cercle extérieur en un seul point M, correspondant à T.

D'après un théorème (*) de Géométrie élémentaire, si trois cercles ont y deux à deux, un seul et même axe radical, les tangentes menées d^un point quelconque de l'un d'eux aux deux autres ont leurs longueurs dans un rapport constant. Prenons

le cercle c de telle sorte qu'il ait avec le cercle O l'axe radical commun à ce dernier et au point G' S'il en est ainsi, et ï© désignant le point correspondant, sur c, au point initial Mq^ on aura

= dn u.

Pour construire la courbe (G), employée précédemment, nous avons porté, à partir de G, sur GM la lonj^ueur

Soit M" le second point de rencontre de ÏM avec le cercle. Portons de même sur la tangente TM, à partir de T, la longueur