CHAPITRE V. — Là fonction Çm. i5y
Prenons maintenant Fintégrale
f ' [î:(a + «P)+;(a-tp)]rfp;
-inîî
par le changement de p en 2 n -r + ^, et en vertu de la relation
Ç( a db 2/ito' ) = Ç a ih a 717)', elle devient
f [!;(a+i3)-^;(a~.-?)]fl?? = *(a,a).
Ajoutons-la à la somme 1q-|- 1| H- . . . -h la/z-i» Nous aurons ainsi une intégrale, prise depuis zéro jusqu'à 2/i — -+- a; par conséquent
n — j = 2/i*(a, -r jH-<ï>(a, a).
La démonstration que nous venons de faire pour cette formule suppose n positif, mais il suffit de l'intervenir ainsi
«l>(ûr, a) = — 2/^<^fa, — ) + 4>(fl,
pour reconnaître qu'elle s^applique également au cas où n esl négatif. Prenons cette dernière forme en y remplaçant n par — n,
(68) 4>(rt, a) = 2/i*fflr, — )-:-*(«, a — 2/i-rl»
Généralisation des propriétés précédentes.
Employons maintenant les égalités (6i), (64), (65) et (68) pour réduire explicitement les deux arguments k être compris dans Tintervalle d'une période.
ans le cas A ;> o, supposons a compris entre a n — et i^ (/? 4- 1 j-r>
(»t a, comme dans (64), entre amio et 2(m-h i)tt). Transformons le dernier terme de (68), d'après (6i), en écrivant
<I»/a, a — 2/1 — ) = 4'W''i( '^ — 2/i-rl4-*(a — amto, a — 2ai -rU
l58 PREXlfcRB PARTIE. ~ TBÉOBIE.
el remplaçons aussi 4>(a, -r J par son expression (64)» I^es termes du second membre, outre la fonction 4>, sont les suivants :
imrJoL — 2/l-r ) -f-2/l[— 2lT/a -l-(2/ll -î-£)r].
Nous les mettrons sous la forme la plus symétrique en rempla-
ir
çant o.r^b)' par la quantité égale r,o/-4-r/(i> -\ ^> et nous aurons la
formule suivante :
A >o, amw^a <a(m -h i)co,
ta' tù'
£ = i, sauf au cas a = 2//ia), où c— o.
Nous pouvons maintenant généraliser la relation (58). Changeons g'^ eu — ^3, par conséquent
en
— r> ir, , ito, -. ) i i
el, en même temps, échangeons a^ a par conséquent aussi //i, /i ; nous aurons
<l>i(<7, a)= ^nir^a — \mr^7. — ^mni{ilhi -4-rjw')
(/H-e')7:-i-4>i(a — 2/i-r> « — amw).
La quantité e' a, par rapport à a, même signifîcation que e [)ar rapport à a.
Dans les deux fonctions <I> et <><, qui sont aux seconds membres de (69) et (69 rt), les deux arguments sont entre les limites (o, a eu)
(o, -7- ) • On peut donc leur appliquer la formule (58), et leur
somme est zéro ou ih tt, suivant les cas, que Ton peut réunir en
