CHAPITRE V. — LA FONCTION sW

représentant cette somme par ss't. Ajoutons membre à membre (69) et (69 à)^ et voici la formule cherchée :

A>o, 2mw^a<2(mH-i)(o,

2 Al — -a <2(/l-+- 1) -r>

4>,(a, rt) = (2m -h z){in -t-

sauf au cas a — 2m(o,

OÙ

sauf au cas a — 2/i-r>

OÙ

Dans le cas A<^o, voici comment se fait le même calcul Supposant a dans les mêmes limites qu'aux formules (65) et

aussi a entre (2/1 — i)-4 et (c>./i-|-i) -.*> nous remplaçons au second membre de (68), comme tout à l'heure,

<I>fa, a — 2/i-î?) par \nn\tin — 2/1 -4 ) -4- *( a — 2 ma)», a — 2/i~)

et, suivant (65),

par 2/i[— 2iT/ja -h(4wi-^ *)^]<

Nous mettrons, en outre, au lieu de QTjjWj , la quantité égale "^ia^'i ~^~ 'l'a ^2"^ ^'^'i ^^ nous obtiendrons une formule qui différera de (69) par un seul terme

A<o, (2/71 — i)t02 <a < (2m-i-i)wj,

c^(a, a) = \ inr^^i^ 4 '"\j « -t- 1 m/i/(7)2 tOj -h r/j a>j)

^ -T- 2/1(2/71 -4- £)i: -h *ï» I a — 2//i(0|, a — in-}\i

£ = — I, (2//1 — i)a>2<a <2//it02, e = o, a = 2//it02,

\ £=-4-1, 2/7ltOj<a <(2//l -i- l)t02.

Prenons ensuite, comme tout à l'heure, l'expression analogue de <Ï>| (a, a) et remplaçons la somme des deux fonctions ^ du second membre suivant la formule (58). Leur somme sera zz'n^ car les deux

l6o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

.^ un entre — coa et -f-coo, 1 autre entre :^ et

H — :r • On aura donc

A<o, (im — i) a>î < a <(2m-h i) o),,

<I>(a, a) -H <I>i(a, a) = [(a/w -+- £)(2/i -i- e')-+- 4/«/ï |tc, E= — I, (2m — i)a>j<rt<2mu)i,

e = o, a = 2/?iu)i,

£=-^i, 2/na)i < a < (2//1 -T- i)a>î,

Ces formules (^i) et (72) ne conviennent pas quand a ou a atteint une demi -période. Suivant Tobservalion faite à la suite de la

formule (66), si a devient égal à(2/?i — i)w2, <>fa, -r^ J subit une

diminution brusque, égale à ii. Il faut donc diminuer le second membre, dans (71), de a/iir. L'analyse se poursuit sans obstacle, car la formule (58) permet à un des arguments de devenir égal à une demi-période; on déduit donc immédiatement delà formule (72) les deux suivantes :

( *(a, a)-f- *i(a, a) = [('2/n — i)(2/i H- £') 4-4/w/i — 2/i]7r, ( a — (2/n — i)wî;

Mais, quand a et a sont à la fois des demi-périodes, il faut encore prendre une nouvelle formule, d'ailleurs fort aisée à construire. Nous avons, d'après (67),

4> (2/n — i)a>2,(2/i — ï)-:^ =(2n — I)<^ {2 m — Owj, -^ L

cl, d'après (61) et (62),