CHAPITRE VI. — LA FONCTION 3*//. ïyl

D'après (2), ^(o) esl égal à zéro, e'^^^^ àrunllé. Puisque le rapport du sinus à Tare tend vers Tunité quand l'arc tend vers zéro, on a, suivant la définition (3),

de là, suivant la relation (()), on déduit

(„) lim^"-"-'"'""^(-.)'"e'"-'»-'.

Formule fondamentale.

L'égalité (V, i6)

pu — jir peut être écrite sous la forme

du

, ^(u -f-i') r(u — V) d . , " 3'*w du ^^* '

Les deux fonctions, dont les dérivées logarithmiques sont ainsi égales, ont donc entre elles un rapport indépendant de a. Pour connaître ce rapport, il suffit de supposer u = o. D'après (10). la

..11 ^(u-hv)^(u — v) . , , .o'co'C — i-> partie pnncipale de ^- est égah* a ou,

«Taprès (4), -' La partie principale de (pu — j)r) est - ^- L<*

rapport est donc égal à — ^^r. Voici donc la formule obtenu*' :

^{u -h v) ^(u — v) {f?.) —^ — = pr — 1)//.

On verra bientôt, dans le présent Chapitre, que cette formule (12) renferme, pour ainsi dire, toute la théorie. Il n'existe pas de théorème d'addition pour la fonction d] la proposition (12) en tient lieu.

Arguments purement imaginaires.

Kn même temps que

:fu = 3'(f/;/rji A'a), considérons aussi

174 PREXIËRE PARTIE. — THÉORIE.

le facteur ( — i)""^' s' change son signe quand i a passe par un multiple de Mo'.^ : la formule (20), par suite, dans le cas où et n'a pas la forme (2m -H i)ct)2, est identique à la formule (19). C'est seulement ce cas particulier a = {'2m -r- i)i02 qui oblige à séparer les formules propres au discriminant néj^atif.

Voilà donc ^(a -{- i%) bien défini, sans aucune ambiguïté. Nous devons démontrer que cette fonction possède les propriétés déjà rec'onnues pour les cas où l'argument est ou purement imaginaire ou réel.

En premier lieu, l'équation d'homogénéité (5) est vérifiée; car

^y csi homogène et du degré zéro, ^pct — pix du degré — i , et ^fi dioL du degré 2. Il faut cependant observer que nous supposons ainsi implicitement y/ix positif, supposition sans laquelle il <leviendrait nécessainî d'examiner le facteur dz i des formules (19),

(•>.o). Aussi allons-nous le faire à part pour le cas ^[x z= — i .

Imparité.

1" Dans la formide (19), nous pouvons écrire

Donc au nombre n se rapportant à a correspond le nombn* — {n H- 1) se rapportant à — a; par conséquent, on a

3'( — a — i%) — ( — i^i 3'(- - a) ^i— ia)^ pu — pioL W(~ a, — a).

Mais, d'après (4) ^^ï- (^^1 79)?

3'(--- a) — — s'a, 3'( — l'a)— — ^ioL, W{ — «, — a) — V(a, a).

Donc

3'(— ^ï — 11) — ( — i)'*i ^a 3* i'a \^pa — pioLW(a, a), 3'( — a — îol) = — 3'(a -T- l'a).

!>;' Dans la formule (20), si l'on a

on en conclura

(2/1 — I ) -H=^ <. % <^in —Ay

^in—r- < — a < (— '2 n -r- 1 ) — 7^