CHAPITRE VI. — LA FONCTION O*//. IJ

Avec l'arguinenl a, on avait à considérer le nombre /i, et £' était égal à — 1 ; avec l'argument — a, n est remplacé par — /î, et t' devient égal à -h 1 . On voit donc que ( — i)^ est remplacé par ( — i)^' quand a est changé en — a.

11 n'est pas nécessaire d'examiner le second cas qui se déduit <lu précédent par l'échange de a et — a.

Il n'y a pas lieu non plus de considérer le cas

//:-.( 2/71 -M) tUj, a = {in -^ l) —? y

<lans lequel on a

Donc, en toute généralité,

Changement de u en m.

La relation (i5) doit aussi être vérifiée. On peut l'écrire ainsi

(21) ^(a -I- la) = iâ*(a— l'a).

Nous venons de reconnaître comment se changent les nombres

n, z' quand on change a en — a. Prenons les nombres analogues

fii' m, s relativement à a et w, au lieu de a et -.-> et faisons-j les mêmes

changements. Nous aurons, de cette manière, <3'(a — la). Ainsi : i" pour A <; o, soit

2ma)<a<C2(m-f-i)a), nous aurons

^(a — la) = ( — 1)"» t (3*a CC— ta) ^poL — piaWi(oL, — a).

D'ailleurs,

!iâ^QL= ^ii, a'( — ia) = — t c'a, pa = — p*a, pia=. — pa

et, d'après (V, 79),

(23) Vi(a, -a)= '

Vi(a,«) En conséquence,

C^a— ia) = ( — !)'«+* i ^a (^ii^pa — pioL ^-- • •

Ij6 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

DivisoDs membre à membre Tégalilé (19) et cette dernière, pour en déduire

Mais la relation (V, 85)

transforme précisémenl noire dernière égalité en celle (^i) qu'il fallait vérifier.

•*." Pour A << G, soient

£= — I si (2/71 — i)u)j < a < amtoj,

£ = -i- I si it/wtuj < a ^ (2/?n- i)u>|.

Comme il a été expliqué au paragraphe précédent pour le changement du signe dans le second argument, on aura, conformément à la définition (ao),

3^(a — ia) = ( — i)t*-^* ô^a ^ia /pa — pta Vi(a, — a), / ( — 1)'"£ en général,

si a =(2nH- I) -r •

De là se conclut, comme précédemment, par les égalités (22),

i( — i)'»-^"££' en général, (— i)'"£ si a = (2/n-4- i)a)j,

(— l)«£ si iX = (2/1 -Hl)lUj.

Dans chacun des trois cas, le second membre est précisément égal, d'après la relation (V, 87), à — — • L'égalité (a 1) est donc pleinement prouvée.

Dérivée.

D'après les définitions (V, 5i, 78) de <ï>(a, a) et de W{ajOL)^ un a