GBAPITRE VI. — LA FONCTION O'W. I

On conclut donc aussi bien de (20) que de (19)

TT.-^ loga'(a-T- ra)

= \ 1 aÇia -f- î(a -h ix) -+- î;(a — ta) — ^/ '' . 1 • L pa — ptaj

Mais, suivant le théorème d^addition (V, 16 a) pour la fonction Ç,

aÇia-f- î(a — i%) — = ll(a -{- la).

pa — pioL

Il reste donc simplement

Nous aurons semblablement, changeant a en a, a en — a et

^3 en — o^j,

; — - log?(a — ia) = — J(a — ia).

d(ia)

D'après (ai), le premier membre équivaut à -— log(^(a + ta).

Quant au second membre, il peut être écrit aussi -r Ç(a -f- la);

donc

^ log3'(a -f- la) = ;(rt H- *a),

Ainsi l'égalité (6) a lieu quand u est une quantité complexe.

Addition des périodes.

Si, dans la définition (19) ou (ao), on change a en (a-{- aw), deux des facteurs du second membre changent seuls : 1** le facteur da qui, d'après (7), se reproduit multiplié par — e*Trii«+a)). 2« le facteur ^(a, a) qui, d'après (V, 80), se reproduit multiplié par e*^'*. Donc

C'est la complète généralisation de la relation (7). On peut de même obtenir la relation analogue pour l'addition de 2(o' au mojen des formules (V, 84 et 86), ou encore déduire I. la

de (^5), par le même changement de lettres qu^au paragraphe précédent,

^^loL — ta-] .-)== — 3'(a— ra)e ^ '/,

c'est-à-dîre

(26) :f(a -\- ioL -f- 2(o') = — 3'(a -h i a )e«^ <"+'« + ««>'>,

généralisation de la formule (17), avec m = 1.

Addition de la période 2(1)3(1 Co).

Uaddition de la période CO2 -h w'^ = 2105 (A << o) exige un peu plus d'attention.

Tirons d'abord de la relation (isî) avec arguments réels (elle n'est encore établie que pour ce cas ou celui des arguments purement imaginaires) une formule particulière, en supposant if == W2, r =: a,

3'(a),H-a)3'((i),— a) ou, d'après (8),

Nous allons extraire la racine carrée, prise avec le signe plus. A cet efïet, 11 faut observer que (^((Oj -h a) est positif quand a est entre — W2 et -|- Wj, puis change de signe chaque fois que a passe par un multiple impair de W2»

Au contraire, (ia change de signe quand a passe par un multiple pair, et a le signe plus quand a se trouve compris entre zéro et 2CO2. Si donc, comme précédemment, on suppose

iE= — I quand (2 m — i)u)| < a < 2ma)j, e — -h 1 quand 2m(«>j < a < (2//1 -h i)u)j,

le quotient ^ a le même signe que s. Pour avoir le radical

positif, nous écrirons donc

(28) /pa — «2= ee-TQi« — -^ -•