CHAPITRE VI. — LA FONCTION i^U

Semblablement, en supposant

l e'= — I quand (2/1 — 0 ~^ > * ^ 2/i -~ >

quand in —r ^1 :^ {'i n -\- i) -^ y

on aura un radical positif si Ton prend

3* (0 2.3' ta

En second lieu, la formule d^addition de la demi-période

j)(a — 104)— eî== et — p(ia -h lOj ) =

nous donne

/— 7 r^ — \/(ef— ex)(ei— e^) , r-

et tous les radicaux sont pris là positivement. On observe, à ce sujet, que {e^ — <?i)(^2 — ^z) est le produit de deux imaginaires conjuguées, donc positif. Par le moyen de (a8) et (3o), nous avons de la sorte

v/p ( a -4- wj ) — p ( t a -f- 0)', ) 3'( 0)2 -f- a) 3'( w j -1- ta)

V^pa — pta ^a ^i%

= S'a),, o'to; V^(e2-e,)(e2-e3}^^e'''*"^^»'* = A.

Reprenons maintenant l'égalité (20), changeons-y a et it en (a H- C02) et (la -h w.^), et soit v' le nombre qui remplace alors v. Nous concluons

Mais, d'après l'égalité (V, 88), le dernier rapport est égal à

Posons

C = 0*0)2. c'a) jv/( 62 — ei ;(e2 — ea^e^'i**»!»

l8o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

nous avons donc

Il nous reste à examiner le facteur de discontinuité ( — i )^^'e'. Prenons le cas général où a, a H- 102 ne sont pas multiples impairs de C02. On a, d'après (20), ( — ^y=^{ — i)'''^*£'; désignant par n', e*

les nombres analogues à /i, t\ mais relatifs à f a+ ^U on aura de

même ( — lY =:( — i)"'+*e". Le facteur qu'il faut examiner est donc ( — !)"+"'£''. Or ( — i)" change de signe quand la passe par un multiple impair dew'j^. On a déjà remarqué que ( — !)"£' change de signe seulement quand îol passe par un multiple pair; donc, de même, ( — i)"^" change de signe seulement quand (ia + w^) passe par un tel multiple, c'est-à-dire quand ia passe par un multiple impair, exactement comme (— i)"; donc le produit ne change jamais son signe et n'est pas discontinu. On voit d'ailleurs immédiatement qu'il est égal à 4- i •

Ceci observé, on peut facilement déterminer G en supposant, dans (3i),

par quoi le premier membre devient — i, et la formule (3i)

v changeant £/ en (u — 2co!j),on en déduit, par le moyen de (17),

(33) cr(

Ces deux égalités, conformément aux notations introduites (V, 3o), s'écrivent

(34) o'(w-f-'ji(i)3)=— s'a. e«^i^«-^w3',

(35) <^{it -.2(0,)^^— ya. e«ni'«+w.'.

Elles complètent l'analogie qui existe entre les périodes awi, 2 W3 (A<; o) et les périodes 2co, 2w'( A^ o).