Partie principale de 3'(a -f- i%) = t'ai - — -^, V(«, a

D'après (V, 83), W(a, a) a, pour partie principale, celle de

a -+- l'a j e -p== ; donc /a' H- a«

(36) Iim -. — =1.

C'est la généralisation de l'égalité (10).

iS'i PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Les formules (9) et (17) ont leurs analogues (34) et (35) dans le cas où le discriminant est négatif. Employons maintenant la notation 20)1, 2 103 pour les périodes, quel que soit le signe de A. Nos deux formules sont donc

— ( |)m,gîm3Y),(«-H/«3W,)^

011, bien entendu, l'argument u est une quantité complexe quelconque. On peut réunir ces deux formules en une seule. Changeant, dans la seconde, w en m 4- 2/W|W, et multipliant membre à membre avec la première, nous aurons

^^ (' |\/n,-H/w,^î(//i,ir),-(-/rt,rji)(M-4-m,w,-f /WjWi''-5/n,mj(tj,(i)i— Y;iti),\

Mais Tj! W3 — 7j3 ci)| est égal à -;^ ? en sorte qu'on peut écrire cette formule ainsi

Û) = /WjtOi H- 7/130)3, '^î = /WiT,i-f- /7Î3T,3,

O7) \ (i{u-\- iCa)

Ca

3^ ( I y//I,H-l)(Wj-H; ^2Tj(MH-€b).

Elle ne diffère de la formule (-j), relative à la période 2co, que par le signe du second membre; ce signe peut être )d/«5. Mais cette circonstance se présente seulement quand nii et ma sont tous deux pairs, et alors (ô est une période. Ainsi, toutes les fois que cj esl une demi-période quelconque, on a toujours, pour l'addition de 2 0), une formule absolument semblable 3(7). La constante r, est seulement remplacée par f».

La formule générale (3^) montre que deux fonctions (^, dont les arguments diffèrent seulement par une période, diffèrent ellesmêmes seulement par un facteur exponentiel du premier degré. Ce qu'il est essentiel d'observer, c'est que ce facteur est une fonction continue et ne contient aucun des signes ambigus liz 1 qui se présentent dans la définition de ^u. Au commencement de ce paragraphe, nous avons démontré que du = ^{a-}- îol) est une fonction continue: 1*^ quand a tend vers zéro; 2** quand a tend