CHAPITRE VI. — LA FONCTION O'W. l

vers zéro; 3" quand u =r a-h i^ tend vers zéro. Il est maintenant prouvé, au mojen de (3^), que <iu = i{a^ îol) est continu: I® quand la converge vers une période; 2° quand a converge vers une période; 3" quand // converge vers une période ; 4** qusi'^^ (A étant négatif) a converge vers un multiple impair de W2, ou la vers un multiple impair de w!j. Mais les formules (19) et (20) n'offrent aucune discontinuité a/?/;flrre/z/e, hormis celles qu'on vient dépasser en revue. Donc la fonction ^u est toujours finie et continue; en outre, suivant (36) et (3^), elle a pour racines les périodes. Elle n'a pas d'autre racine, c'est ce qui résulte des définitions (19) et (20) où l'on connaît les racines de tous les facteurs aux seconds membres. Le facteur W n'a aucune racine, puisque, par définition, c'est une exponentielle e'^, où 8 est réel.

Il reste encore a s'assurer que la fonction du satisfait, dans tous les cas, à la relation (i >.). Maintenant que cette fonction nous es! connue, nous pouvons lui appliquer, pour démontrer celte relation, la même démonstration, absolument, qui a été faite d'abord pour un argument réel. La relation (la) est donc exacte.

Dégénérescence de (ju.

Les formules (V, 3i2 et 33), qui font connaître les dégénérescences de Ç«/, donnent immédiatement les dégénérescences de<^^, pour les arguments réels ou purement imaginaires d'abord, puis pour les arguments quelconques. Il suffit d'appliquer les définitions de du. On trouve ainsi

^u= — sin — ^6\sa)/ — — sin — e*^* ,

71 II nu

:f(iu)- . e «^2wy ,

TZ in Tt in

J , ' ictziiiy-

f ^{iu)=^ Sin — ,e e\ito'J,