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l84 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Lacune que présente le développement de ^u.

Développée suivant les puissances croissantes de u^^ la fonction paire — présente une lacune au second terme, en sorte qu'on a

Cette propriété importante résulte immédiatement du développement de pu(lVj ^). Soit, en effet, à supposer que cette lacune

n'existe pas,

a'M= u(i -f- au^-^ AM*-t- Bw* .-. . .): il en résulte

ÏM = = - -r- 2aa -J-( I A - - 2a*)w'H-. . . ,

Dit = — V u -= - — aa -i-(6a'— 12 A)w*H-

Mais le développement de pu (IV, 4) a la forme suivante :

nous en concluons

pu

rt:

Au Chapitre IX, on apprendra à former rapidement tant de termes qu'on voudra dans ce développement.

Propriétés caractéristiques de o'it.

La nature et les propriétés de la fonction du se résument ainsi : c'est une fonction définie sans ambiguïté pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de w, toujours finie, impaire, aj^ant pour racines toutes les quantités a/nwi + 51/20)3, m et n étant des entiers; elle est dévcloppable en la forme

a'w = w(i - A w^-r- Bm« -r-. . . ),

avec une lacune du terme en u'^ dans la parenthèse, elle se reproduit multipliée par un facteur de la forme e^"'^^f quand on ajoute