CHAPITRE VI. — LA FONCTION '^ II. l

à u des multiples quelconques de 2C0| et 2CO3; elle jouit enfin de la propriété suivante, traduction de la relation (12),

Ces éléments résument toute la théorie. Nous allons le montrer. Si l'on pose

on reconnaît d'abord, comme conséquences immédiates, la nature de Çi/ et de pu, la double périodicité de cette dernière. Les formules d'addition se concluent de (40? P^^ ^^^ conséquences, obtenues en dérivant par rapport k u el v :

ll(u-^ v)-\-Z(u— v)—i^u — — »

^ pu — pv

pv — j) u en dérivant de nouveau par rapport à u, on en déduit

p(u -h v)-h p(u — V)—7.pU —— -■ y

^ / / \ 4 Ou pu — pç

Ou pu — pv

et, par conséquent,

p(u-i- v)= 'jtpu — —

Ou pu — pi>

C'est une formule d'addition, mais dans laquelle figurent pw, p'w, p" u\ il faut pouvoir en faire disparaître p" u et, pour cela, connaître la relation qui Vie p' u et pu. Or, en dérivant par rapport à ç^, on a de même

Ov pu — j)v

et, par conséquent,

2pU— -~ ^ = 7.pV .

Ou pu — pç ' Oi' p u — pv

Mettant à part, dans le premier membre, le terme

Ou pu — pv ^ ( p u — J) r Y '

l86 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

on. lui trouve son analogue, qui le détruit, dans le second membre, en sorle qu'on peut écrire

Ou pu — pv pu — j)i' (pu — p^')*

ou, en mellanl j)'// -T- au lieu de -— et dlvisanl par(jjw — j)i').

pu — pçd{pu)pu—pv ipft—p^')^ Kpf^ — p^')^

Intégrant les deux membres par rapport à la variable j3W, et désignant par a une constante encore inconnue, nous aurons

pu \' ,, , ^-P'*' J>'*»'

pu — pv/ pu pi' (J>w — p*';*

ou bien, en chassant le dénominateur,

p'^ii— ^{pu- pvy{pu -¥- a)-^ip%'{pu pt')- P'*t'-

Ici (' est une arbitraire. Oa voit donc que p''^ u est exprimable par un polynôme du troisième degré en pu. Pour préciser ce polynôme, on observera que Tune des propriétés de ^u donne, pour u infiniment petit, les développements

lu — — - i \u^- . . . .

pu — - 19. A M* H

(Foii résulte que le terme en p^u doit manquer dans le polynôme du troisième degré. Ainsi les propriétés, que nous venons de résumer pour (3'w, conduisent non seulement aux formules d'addition, mais encore à la formule p''^ u ^^ ip^u — ©"aP" — n-^- Toute la théorie en découle donc avec la plus grande facilité.