CHAPITRE VI. — LA FONCTION

Équation à trois termes.

La formule, que nous venons de reconnaître caractéristique,

entraîne, ainsi qu'on Fa déjà reconnu pour un autre exemple entièrement analogue (IV, '>.3), la conséquence

|a'(cr — 6)a'(a-f- b):^(c — d) ^(c -. d) -}-3'(6 — c) crCô- -c)c3'(a-. d):ï{a-- d) -.- ^ (c — a) ^ {c -^ a) ^{b — d) ^{b .- d) r- 0.

On obtient cette dernière, rappelons-le, en ajoutant membre à membre les produits deux à deux des termes de six équations semblables à Téquation (4^); elle résulte de Tidentité

Inversement la relation (43) permet de conclure la précédenle (42), moyennant la simple hypothèse d' o = i. Qu'on y suppose, à cet effet, d infiniment peu différent de c, on voit d'abord que d est une fonction impaire; car la première ligne représente une quantité nulle, et les deux autres se réduisent ensemble à

^{b — c) ^{b-'-c) 3'(a — c)[3'(a — c)-- 3'(c — ri)],

qui doit être nul. Ceci admis, l'hypothèse d infiniment voisin de c donne une conséquence nouvelle si l'on égale à zéro la dérivée prise par rapport à rf et qu'on y fasse ensuite rf =r c. Désignant par Çw la dérivée logarithmique de du^ nous aurons ainsi

-- If {a— b)(f{a-^ b)^{ic)

- :f{b- c)<f{b-hc):f{a — c) ^(a~ c)\-- "^(a — c)-^ i:^{a ~- c)\

ou bien

ffi^a-^-c) ^(a — c)^{b -f- c) 3* (6 — c)

' [;(«-- c)-!;(a-c)-!;(^-cj-!;(6--c)].

o'Cîc)

l88 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Faisant maintenant converger c vers zéro, on a

lim — = —-r = Ça = -5— logs'cï,

lim •= = -77- lof^yo.

Donc

35 3;-r ■" j-5 logs'a— -jî^ logs'o.

Ainsi la belle propriété qu'exprime la relation (43), connue sous le nom àî^ équation à trois termes, caractérise la fonction iii et permet de remonter à la définition de pu. Nous ferons bientôt usage de ce fait si important (Chapitre VIII V

Les fonctions ^lUf ^lU, ^f^u.

Soient p, q deux entiers, dont l'un au moins est impair, et posons

(i>, w', r,, r/, dans le cas A <; o, seront remplacés par Wf, (03,7, ,,7; ,. La relation (3^) devient ici

Par le changement de u en (// — w), on peut l'écrire

=3 e»V', e-V'3'(w-4-M)i-- eV'3'(w — a).

Pour déduire de là une fonction dont la valeur correspondant à M = o soit purement numérique, il convient de diviser par s'a). Ainsi s'introduit la fonction

fonction paire, égale à -+- i pour w = o. Il y a en tout trois fonctions différentes comprises dans cette définition: c'est ce que nous allons reconnaître.

Soit (ô, une autre demi-période, déterminée par deux autres