CHAPITRE VI. — LA PONCTIO!* O'W
entiers/?! et ^r,, mais pt de même parité que/>, q^ de même parité que q. Soient
p — />i =-- 2/?i, q — q\= '^qty
On aura
Le signe ± a été mis pour ( — i)Pi-^9t-^PiÇ,, Faisant w =ir o, on a
de même
c'a) — — ^(ûi e«^i»<ûi-^û,).
Divisant membre à membre les deux dernières égalités, on obtient
D'ailleurs Donc
g-r,a — : ~ e~^ii" = •
(fit) ^it)i
On voit donc que ^olU ne dépend pas des valeurs absolues des deux nombres/?, q, mais seulement de leurs parités. Il y a donc en tout trois fonctions <3*aW, savoir
«J'ai
quand p est impair, q pair;
^ ( tù -^ tù' -\- Il ) ,^ ^,
quand p et q sont impairs;
^3"= — ir-; e-V"= 3'a?^
quand p est pair, q impair.
Ce sont trois fonctions paires, se réduisant à Tunité pour
igO PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.
Expression des quantités ^pu — e^L par les ^. La formule suivante, déduite de (12) par la supposition
pu-po>-^ ï«„.y.â, - ^ s-tu.?»™ '
peut être écrite
Convenons de désigner aussi par e» l'une quelconque des trois constantes ei, e^j ^3, avec le même choix de Tindice que pour ^01 M, et nous aurons, en extrayant la racine carrée
Vpu — eo^= - •
^ ce
Les trois radicaux y^'p m — e» s'offrent donc comme dépourvus d'ambiguïté, avec un signe toujours déterminé.
Prenons, par exemple, le cas du discriminant positif, et supposons u réel. Alors ^'aW et ^^u ne deviennent jamais nuls; ces fonctions sont donc toujours positives, puisqu'elles sont égales à -f- 1 pour w = o.
Pour 3'| Uj il y a, au contraire, les racines u = (2m + i)(o, en sorte que ^i u est positive entre — w et -[- w, négative entre (o et
3 w Quant à ^u^ cette fonction est positive entre zéro et aw,
négative entre — 210 et zéro, entre 2(0 et 4 w, ....
Les racines carrées y/^i — 63, y/e^ — ^3 étant extraites positivement, nous aurons ainsi (Chap. II, p. 4-^)
sn{u^ei — es) — /ci — e^
en
\u /ei — ej) = ^j^ ^/ ( inod A =
^3" ( \ /ei— ea
(ln(a v^ei — es)
Diverses expressions des quantités /ei — e, et y^ei — es v^i — es.
Considérons les trois radicaux v^pw — c^a? désormais dépourvus
