uni

d^ du

— dnUy

dui

du ^ '

car //« est nul avec u.

Par ie point M", menons maintenant la seconde tangente M"T"

GHAP. I. — FONCTIONS ELLIPTIQUES A DISCRIMINANT POSITIF. l3

du cercle c. Son point de contact P' est celui qui correspond à M", d'après les conventions. Mais, les deux tangentes RFT et M" T" étant égales, la relation

d':{ " TM'

donne celle-ci

^? __ fi^' TM "" T^'

Soît u" l'argument qui correspond à M", comme // correspond à M; on a

Par suite

du = du".

Dans le cas de la courbe (C), où le cercle c se réduisait au point C, le point M" était remplacé par M', et l'égalité du = du' avait lieu aussi. Il n'en a pas été parlé; car il était alors évident, à cause de la svmétrie de (C), qu'on a

Ici la différence u" — u est encore constante; mais cette constante n'est plus égale à K. U suflit d'envisager la position initiale de la tangente Mo ïoM^Q pour reconnaître que cette constante est l'argument Uq qui correspond au point M'^. Par conséquent :

Sic est un cercle intérieur au cercle O, ayant a\'ec ce dernier et le point C même axe radical, et qu^on mène dans le cercle O une corde variable MM" tangente au cercle c, les deux points M et W correspondent ù des arguments u et u" dont la différence est constante,

• Ce théorème est dû à Jacobi.

Au lieu de porter les longueurs Tn sur les tangentes dans le sens opposé à celui delà rotation positive, on peut les porter dans le sens de cette rotation ; alors le point M^^, est au-dessous de la ligne des centres, et w^ est supérieur à K.

l4 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Digression sur les polygones de Poncelet.

Supposons qu'un triangle de sommets MM|M2, placés dans cet ordre pour le sens de rotation positif par exemple, soit inscrit dans le cercle O et circonscrit au cercle c. Les arguments des trois sommets seront successivement u^ u-k-u^^ // + 2i/]^, et, puisque la corde M2M est encore tangente au cercle c, Taire de la courbe est décrite complètement, et l'argument qu'on obtient en revenant au point M a les deux expressions

a-i-aK et mh-Smo Donc

Ainsi le cercle c n'est pas un quelconque de ceux qui ont, avecO, l'axe radical donné. Il est déterminé par cette condition que le

point M^ réponde à l'argument -— • Cela étant, chaque point M

du cercle O sera un sommet d'un triangle inscrit au cercle O et circonscrit au cercle c.

Au Heu d'un triangle, supposons un polygone de/? côtés, inscrit dans Oet circonscrit à c. Admettons, en outre, que ce polygone, s'il est étoile, se recouvre lui-même q fois {q = i pour un polygone convexe). Si u est l'argument du premier sommet, on retrouvera, après avoir décrit le polygone dans le sens positif, pour nouvelle détermination de cet argument, les deux expressions

u -f- 2yK et u -hpuQ' Donc u^ = -^ • De là le théorème de

/^ Poncelet :

Si deux cercles sont, l'un inscrit^ l'autre circonscrit à un polygone fermé, il existe une infinité de polygones, ayant pareil nombre de côtés, à la fois circonscrits au premier cercle et inscrits dans le second.

Construction pour l'addition des arguments.

Sur le cercle O {Jig» 4)> prenez le point A répondant à l'argument a, et tracez le cercle c, tangent à M© A, ayant avec O l'axe radical donné, et intérieur à O, ce qui se peut faire d'une seule ma-

^^i< vc( C^U^ ^{ ^ T^n^<^ /t /< « c ^v- iTflt ' . /c / t w*

^^Tjtyti.t^t.Ui^xL^ 7/-^ (fcl e^ .

nière (*). Prenez le point B répondant à l'argunient 6, et menez, par ce point B, Tune des tangentes au cercle c, savoir celle qui du point de contact au point B est dirigée dans le sens négatif ou dans le sens positif, suivant que A est au-dessus ou au-dessous de la ligne des centres (sur la figure, A est au-dessus, et la tangente

Kig.

SB est dirigée de S vers B dans le sens négatif de rotation). Prolongez cette tangente jusqu'à la seconde rencontre en D avec le cercle O. Le point D répond à r argument {a--\- b). C'est, en effet, ce qu'indique le théorème de Jacobi. Les lettres A, B, D, />, a remplacent ici M* , M, M", u, u\. ^ ^

La représentation de dimu par un point M du cercle O renferme un défaut : un même point M correspond à tous les arguments qui diffèrent par un multiple (jr^e/co/ifjr^//? de aK, tandis que sn^/et cnu restent inaltérés seulement quand on ajoute à l'argument un multiple pair de aK. En second lieu, l'argument u^, désigné maintenant par a, est supposé, d'après l'analyse précédente, compris entre zéro et 2K. Quand, tout à l'heure, nous passerons de la construction aux formules, il faudra avoir égard à ces circonstances. Mais, sur la figure, ces circonstances n'ont aucune inlluence; elle reste inaltérée quand on attribue à l'argument d'un

(') Prolongez M^A jusqu'à la rencontre avec l'axe radical en R; par R menez la tangente au cercle O, et prenez, à partir de R, sur RAM^, du c<Hé où se trouve A, une longueur égale à cette tangente. Vous obtenez le point de contact du cercle c. ^^>^ tU^tv^^t^ /f^w/vt»' ^ -^ h> n^/fi^^J ^•^ i»t ^*' *'-^. -< ^^.

t y2a 4.xfK C,^^</f ci ' €t l> -><^-- vVtr.' ^ : /^

/Ue^UyJL ^ ' ^ ^ y "* '^Y<

-'^^'t^-KA.

l6 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

point, sur le cercle O, des valeurs qui diffèrent par un multiple quelconque de aK.

La construction précédente, dissymétrique par rapport aux 4 \ arguments a et 6 qu'on additionne, peut être faite aussi dans

Tordre inverse; le résultat ne sera pas changé. Par conséquent, si Ton mène le cercle C|, tangent à MoB, toujours intérieur à O et ayant avec O Taxe radical donné, et qu'on mène par A la tangente à ce cercle c», en observant les mêmes conventions que précédemment, cette tangente passera au point D. On aura ainsi un quadrilatère Mo ADB dont deux côtés opposés Mo A, DE sont tangents au cercle c, et les deux autres MoB, AD au cercle C|. De là un théorème de Géométrie élémentaire (*).

Le point D représente la somme des arguments représentés par A et B. Par suite, A représenle la différence des arguments relatifs à D et B. On a donc encore une liaison analogue entre les points D, A et le point B' symétrique de B par rapport à la ligne des centres; ce point représente, en effet, l'argument — b : étant tracé le cercle C2, langent à MoD, et étant menée à ce cercle, par le point B', la tangente d'après les conventions admises, cette lan- ^ gente passe au point A. Si, de même, par le symétrique de A, on t menait la tangente à Ca, cette droite passerait au point B. ^

Formules d'addition.

^ Une seule équation suffit évidemment à traduire la relation qui

♦ existe entre les trois points A, B, D ; par conséquent aussi à four- 'î^ ^ nir les trois formules d'addition pour les trois fonctions elliptiques. C'est ce que rend évident la considération des égalités

sn'wH- cn'M = I, dn*w -^ A' sn*M = 1;

d'où l'on peut tirer deux des fonctions quand on connaît la troisième. Mais, en suivant la voie qui s'indique ainsi, on introduirait des ambiguïtés avec les radicaux. Pour les éviter, nous conclurons des constructions ci-dessus trois égalités.

Afin de faire disparaître toute incertitude, supposons d'abord

(') Un quadrilatère élanl inscrit dans un cercle O, si Ton mène un cercle v tangent à deux côtés opposés, et un autre cercle c, tangent aux deux autres côtés, ayant, en outre, son centre en ligne droite avec les centres des deux autres cercles, les trois cercles ont, deux à deux, même axe radical.

a et b compris, tous deux, entre zéro et K ; alors d = a-h b sera entre zéro et 2K. (Dans la figure, d est entre K et 2K.) Les amplitudes de a, 6, rfsont, toutes trois, comprises entre zéro et tz; leurs sinus, c'est-à-dire sna, sn6, snrf, sont positifs. Comme Tamplitude de a est le demi-angle mesuré par Tare M© A, on a

2Rsna =MoA;

chaque fonction sn est représentée ainsi par une corde.

On devra se souvenir aussi que la fonction dn est toujours positive. Pour chaque cercle, tel que c, dn u est le rapport des tangentes menées à ce cercle du point qui représente u sur le cercle O, et du point Mo. ^ ''* i ■■ ^ •

Marquons le point de contact de chacune des tangentes précédemment menées aux trois cercles c, C|, Cj, et par le moyen de ces tangentes exprimons, de toutes les manières possibles, dna, dnfr, dnd. Des égalités ainsi obtenues, nous tirerons les formules cherchées.

A chaque cercle, on a mené deux tangentes dont Tune part de Mo; soient T, T|,T2 les points de contact des trois tangentes menées de Mo aux cercles respectifs c, C|, c^; elles aboutissent respectivement aux points A, B, D. Soient S, S|, S2 les points de contact des trois autres tangentes, les indices correspondant à ceux qui distinguent les trois cercles: SestsurBD, S| surDA,S2SurAB'.

Il y a encore une tangente MoB' menée au cercle Cj, mais on n'aura pas à la faire intervenir. La dissjmétrie provenant de ce que la droite ASj passe par B', et non par B, disparaîtra des formules; les fonctions dn coïncident pour B et B' qui répondent à des arguments égaux et de signes contraires.

Par A passent trois tangentes, de même par D; il en passe deux par B et une par B'; de là trois expressions pour chacune des quantités dna, dn6, dn^; les voici rangées suivant Tordre des indices des trois cercles c, C| , Ca :

dna =

ânb =

^^^"^ TMo "" T,Mo "" T,M,

TA TMo

lA Mo

TMo

T,Mo'

^ ^^. /-^tt ^ c:a; . ^y^f^fÏL Oku. Â i / /^

lO ' PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

mites dans lesquelles en// est positif. Les équations différentielles (9) deviennent donc

aw ' du

De là résulte

'^** du en M

r/ sn M en' 1/ "i- sn* w i

en u en £/

^ ^ I sn ;/

€/m en a eni^

Ainsi étant désigné par r, — par x. on a

cnw ° '^ «^ ' cna ' '

dv dx

N En outre, pour w = o, on doit avoir ^' = o, x =i\. Ces condi

tions initiales déterminent complètement x^ y ainsi :

Donc, lorsque k se réduit à l'unité, les valeurs limites des fonctions elliptiques sont