CHAPITRE VI. — LA FONCTION CM. I

dérations, on peut écrire ce polynôme sous la forme

^ 3'(MH-a) a'(a-+-ai) i

En le multipliant par

p' u (f(u — to) a'(a -H u) -h to') a'(a — 10') i 2~ (3'(— (o) a'(to-hu)') 3'(— 0)') (o'wj»'

on obtient en définitive, pour ce cas encore, la formule (56), démontrée ainsi en toute généralité.

Intégrale complète de la fonction C (^)*

On rencontre fréquemment, dans les applications, les deux intégrales définies

dans lesquelles (^ est quelconque, réel ou imaginaire. Au cas A < o, (0, 0)' désignent 0)2 et w^. Nous avons actuellement les éléments nécessaires pour déterminer avec précision ces intégrales, qu^on appelle complètes parce qu'elles sont étendues à une période entière.

Considérons la seconde. L'intégrale indéfinie nous est connue,

c'est - log ^(^iu 4- ^). L'intégrale définie est donc

\ log î!^l^±ï> = 1 ,0g [ «.,'(-«"]

mais elle comporte une indétermination qui est dans la nature du logarithme, en sorte qu'on a

/ Ç(iw-4- v)du = — 2it/(p ^- to') -{-(an -1-1)7:;

le nombre entier n est à trouver. A cet eflet, prenons la quantité

(*) Voir la même quesUon, sous une autre forme, traitée par M. Hermite : Sur V intégrale elliptique de troisième espèce {Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, t. XCIV, 1882, p. 901).

conjuguée: supposons r = a-i-/:a; en ajoutant les deux conjuguées, nous aurons (ir/ étant réel)

lîù'

Jf [C(«-+- **->- iw) ■+- î(« — «« — iu)]du = — iir^'a -4- '2(2/1 ■+- 1)::.

Changeons la variable sous le signe d'intégration, en posant a4- w= p; il vient

f [ ;(« -^ i?) -i- ;(« - t ? )]ûf? = - 4 ir/a -H 2(2/H- 1)7:.

Le premier membre est, suivant les notations du Chapitre V,

et c'est une quantité dont l'expression explicite a été trouvée.

Faisant dans (V, 68)/i= 1 et remplaçant ^(a, o)') par son expression (V, 64), on a

*f a, «H j — *(a, a) = — 4t'»i'<^ -î- ^(am -f-i)7r,

2/nu><a<2(/?i-f- i)ti);

nous excluons le cas où a serait une période, car alors l'intégrale que nous considérons n'aurait pas une valeur finie. Voici donc l'intégrale demandée