CHAPITRE VI. — LA FONCTION ^U. I

dérationSy on peut écrire ce polynôme sous la forme

'^{u-^ a) a'(a-f- ax^ 1

ntfu — ^ ••• s — •

ara o-rt, (ara)'*'-*

En le multipliant par

on obtient en définitive, pour ce cas encore, la formule (56), démontrée ainsi en toute généralité.

Intégrale complète de la fonction ^ (<)•

On rencontre fréquemment, dans les applications, les deux intégrales définies

dans lesquelles v est quelconque, réel ou imaginaire. Au cas A < o, 03, tù' désignent 102 et a)!j. Nous avons actuellement les éléments nécessaires pour déterminer avec précision ces intégrales, qu'on appelle complètes parce qu'elles sont étendues à une période entière.

Considérons la seconde. L'intégrale indéfinie nous est connue,

c'est -r logc3'(iV/ -i- ^). L'intégrale définie est donc

mais elle comporte une indétermination qui est dans la nature du logarithme, en sorte qu'on a

LîîL'

Jf Ç(ta -+- v)du = — 2iT('(t'' -i- w') H- (an -hi)::;

le nombre entier n est à trouver. A cet effet, prenons la quantité

(*) Voir la même question, sous une autre forme, traitée par M. Hermilc : Sur V intégrale elliptique de troisième espèce {Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, t. XCIV, 1882, p. 901).

conjuguée: supposons v = a-{-ioL', en ajoutant les deux conjuguées, nous aurons (ir/ étant réel)

Jf [Ç(a -h ta -4- iu) ■+- î(a — ît. — iu)]du = — 4*T'i'« -^ 2(2/1 -!-i)r.

Changeons la variable sous le signe d^intégration, en posant a-f- w = P; il vient

SCd'

f [ ;(« 4- £p) -^ ;(a — ip)]û?? = — 4 «>/« -^ 2(2/1 -+- i)r.

Le premier membre est, suivant les notations du Chapitre V,

4>(a,a-i :- J — 4>(ûf, a),

et c'est une quantité dont l'expression explicite a été trouvée.

Faisant dans (V, 68)/? = i et remplaçant ^(ût, w') par son expression (V, 64), on a

4>f flr, an r- 1 — *(«, a) =— 4tT/a ~ 2(2/11 -4- i)?:,

2/na)<a<2(/n-i-i)a);

nous excluons le cas où a serait une période, car alors l'intégrale que nous considérons n'aurait pas une valeur finie. Voici donc l'intégrale demandée

\ t» = a -h eot, 2//IU) < a < 2(//i -4- i)to J

L'autre intégrale se déduit aisément de celle-là. Prenons la conjuguée, et mettons en évidence la fonctioi;i Ç au lieu de îj, avec les constantes qui s'y rapportent, savoir

(o' — iïâf t r/ = f„ î ( w ) = t î ( iu ). Nous déduirons ainsi de (57)

^( u -h OL -^ la) du — 2f^( OL -.- Ta -h ia) — (2m -^ i) ir..