CHAPITRE VIL

Préambule. — Décomposition des fonctions elliptiques en éléments simples. — Coefficients de la formule de décomposition. Résidus. — Intégration. — Intégrales elliptiques. — Expression des fonctions elliptiques en produit;S de fonctions r. — Proposition réciproque. — Théorème d'Abel. — Addition d'arguments en nombre quelconque. — Expression de ^„(m) sous forme de déterminant. — Fonctions analogues à sn u, en u, dn u. — Relation générale entre des produits de fonctions r. — Fonctions doublement périodiques de seconde espèce. — Multiplicateurs. — Décomposition en éléments simples. — Exemple de décomposition. — Développement des fonctions de seconde espèce. — Autre exemple de décomposition. — Cas singulier des fonctions de seconde espèce. — Cas où les multiplicateurs sont des racines de l'unité. — Deuxième méthode pour le développement des fonctions de seconde espèce. — Développement de

suivant les puissances ascendantes de u. — Développement de ^^u.

Préambule.

On a vu, dans le Chapitre précédent, la théorie des fonctions elliptiques s'élargir tout à coup et se simplifier singulièrement : c'est l'intervention de la fonction (3'w, qui produit ce changement soudain. En un petit nombre de propriétés simples et frappantes et une seule formule (VI, 12), toute la théorie se résume. Le Chapitre actuel mettra mieux encore en évidence la force de ces éléments fondamentaux. On y verra, pour toutes les formules, leur raison d'être ; on y apprendra, en quelques pages, ce qu'il importe le plus de bien savoir pour faire facilement les applications.

Décomposition des fonctions elliptiques en éléments simples.

Le but de la décomposition-est d'abord de mettre les fonctions rationnelles de JDW et p'w sous une forme propre à l'intégration. Mais on s'apercevra que cette décomposition a, par elle-même,

CHÀP. VII. — DÉCOMPOSITIONS EN ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN FACTEURS. 2o3

une importance considérable, comme il arrive, en Algèbre, pour la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.

A cause de la relation p'^u = 4p' u — f[2pu — ^3, toute fonction rationnelle de p 11 et p' u peut être réduite à la forme A -}- Bp'«/, dans laquelle A et B ne contiennent que pu.

En considérant pu comme une variable ordinaire, on peut décomposer A et B en éléments simples, ainsi qu'on le sait faire pour toute fraction rationnelle. Les éléments simples se composent de termes entiers dont la forme générale est a{puY<, et de termes

fractionnaires ayant la forme 7 —: les coefficients tels que a,

a sont des constantes, les nombres tels que n des entiers positifs.

La fonction Bp'w est immédiatement intégrale; car, si l'on suppose B '-=^ F(j)w), et que S[x) soit l'intégrale indéfinie de F(a:), l'intégrale, par rapport à w, de p' u¥{pu) est ^(pu). Cependant nous ne conserverons pas cette forme.

Considérons d'abord les parties entières des deux fractions A et B. Nous allons les réunir en une somme de termes, tous de même forme, constituant une première partie des éléments simples de la fonction A 4- Bjj'w.

Par les relations successives

pz-= 4P*— ^jP — ^3,

p"* ^. iipp',

p'^-=I2(pp'-T-p'2) = l2(lOp»— f^,p-^,),

p^ -36(iop«-i^i)p',

on peut exprimer toute puissance de pu, d'exposant entier positif, en fonction linéaire de pu^ p"u, p''w, p^'w, ... ; ainsi

On peut aussi exprimer les produits de ces puissances par j>'f/,

en fonction linéaire de j)'//, p" u^, p^u,. . . ; ainsi,

PP'=i:^p'"^

D'après ces relations, les termes entiers de B p'u prendront la forme d'une somme de termes tels que ^ p^'^^\u). De même, les termes entiers de A prennent la forme d'une somme de termes OL p^^^\u). Ainsi, dans la fonction rationnelle A-f- Bpu, sans distinction des deux parties A et B p'u, nous avons d'abord une somme de termes cp^^\u)

C = Co-+- Cl p U -^ Cf p' U -h C3 p' U -h Ci, p'" u -\- . , . ,

Envisageons maintenant dans B et dans A les fractions à dénominateurs du premier degré -— • Comme il existe toujours,

on l'a vu Chapitre II et III, des arguments v répondant k pi^ = ol,

on peut écrire cette fraction sous la forme D'après les

* pu — pv ^

relations (p. i38)

. pu — pv

' pu — pv

nous pouvons écrire, pour A, tous les termes analogues sous la forme d'une somme de termes tels que lo-{- l[K{u-h^) — ^{u — r)], V variant d'un terme à l'autre; d'ailleurs Iq peut être réuni à Co> et il ne reste que des termes /JJ(«4-^) — l^{u — r). PourBp'f^, nous aurons des termes tels que /' ^{u-{-i'')-\- l' ^{a — t^') — il' ^u. Tous les termes analogues de A et de Bp'//, étant réunis, fournissent une somme L, dont la forme est

et où la somme des coefficients est nulle

comme cela a lieu pour chacune des parties l^{u + p) — /!J(« — i) et l'^{u H- v')-\- l'^{u — v') — il' J^w, provenant de A et de B p'u.

En différentiant, par rapport à i^, l'une et l'autre des relations (i), on obtient

f ; 1 = p(ll -r- V) -r- p(u — V) -{- 2pV •

Il en résulte que les fractions, à dénominateurs du second degré, dans Bjj'a et dans A, fournissent des termes

avec d'autres qui viennent se réunir, soit à la somme C, soît à la somme L.

En différentiant encore les relations (2); par rapport à ^, il est visible qu'on obtient, pour les fractions à dénominateurs du troisième degré, des termes

N = nip'(a — Vi) -h /iip'(a — Vi)-h , . .,

avec d*autres qui se réunissent aux précédents, et ainsi de suite. Si l'on observe maintenant que les termes de C peuvent être réunis avec ceux de M, de N, ... en supposant dans ces derniers (;, = o, . . . on voit qu'en définitive :

Théorème I. — La décomposition d'une /onction rationnelle de pu et p^ u peut être faite sous la forme dune somme de termes L -j- P

P — c-i-2mp(vJ(M — p).

Il existe une exception à l'analyse précédente, sans qu'elle empêche la généralité du résultat. Cette exception provient des fractions à dénominateur pu — e\\ car, si l'on fait pv =z e\^ p^ v sera nul, et plusieurs des formules tombent en défaut. Mais la relation

p("-wx)-ex= j,u-ex ^ ' /*> ^ = '» ^» 3)

permet de remplacer immédiatement ces fractions par une partie

entière dans A, en sorte qu'elles viennent se réunir aux termes P. Quant à celles qui sont dans B, l'analyse précédente s'y applique pour celles dont les dénominateurs sont du premier degré. Pour les autres, on a

(pu — ex/* n — I du {pu — ex)"~*

I l d r , Nil

n-i [(ex-e^.)(ex-ev)]"-» du^*^ ^^ ^^

Elles viennent donc encore fournir des termes de P.

La proposition réciproque est presque évidente. Elle n'est à prouver que pour la fonction L : Une somme telle que L, dans laquelle les coefficients l ont zéro pour total, est une fonction rationnelle de pu et p' u. On a, en effet, d'après (i),

'A pu — pV

Puisque la somme des coefficients / est nulle, on voit disparaître ^u dans la substitution, qui fournit cette expression de L, fonction rationnelle de p a et de p'w :

\2 pU — pVi ^ I \'l pU — pVi ^ I

Coefflcients de la formule de décompositions. Résidus.

C'est seulement pour la démonstration qu'il a fallu successivement préparer les diverses parties de la fonction rationnelle. Mais, pour effectuer la décomposition, le moyen est bien plus simple, et l'on peut déterminer directement chaque coefficient, pourvu que Von connaisse les constantes v : ces constantes sont les infinis de la fonction. Prenons, dans L, le terme /Ç(m — v) et, dans P, tous ceux qui contiennent ce même argument r ; nous composons ainsi la somme

( msp^^\u^v)-^ ms-\p^^-^\u — i-') -+- /n,i p'*-*'(a — r) ^-- • • (4 ) {

mj p'{u — v) H- mop{u — ç)-\- l Ç(w — r).

Si on la développe suivant les puissances ascendantes de {u — r) on y trouve d'abord une partie où les exposants sont négatifs. A

cette partie, chaque terme de (4) fournît un seul terme, et elle se compose ainsi

\ ^ ^ ^u — vy " (u — vy {u — v)*u~-v'

Les autres parties de L et de P, développées aussi suivant les puissances ascendantes de (m — r), ne fournissent que des termes à exposants positifs. Si donc on développe la fonction proposée suivant ces mêmes puissances, et qu*on y retienne seulement les termes à exposants négatifs, ces termes composeront l'ensemble (5) et Ton aura, par leur moyen , tous les coefficients /, /Wq , m i , — /n,, afférents à V infini (ou pôle) v.

Le coefficient / de la fraction du premier degré est le résidu relatif à Tinfini v, La somme des résidus relatifs à tous les infinis est nulle, comme on Ta vu. Il faut avoir soin de ne jamais considérer comme différents deux infinis r, v^ dont la différence est une période. D'une manière générale, les arguments sont considérés aux périodes près.

Le nombre (5-+- 2) est Vordre de multiplicité de Tinfini (ou pôle) V : cet infini est simple quand Tordre est l'unité : en ce cas, il n'existe, pour ce pôle, aucun terme dans P, mais le seul terme /J^(w — r). Le résidu / de la fonction F est alors la limite de (// — i^)F pour u = c.

Intégration.

L'intégrale indéfinie de chaque terme, dans la formule de décomposition (3), nous est connue. On peut donc intégrer une fonction rationnelle quelconque de J3 w et p' u. Pour les termes (4), l'intégrale indéfinie est

\ -^ mip{u — t')— /noî(M — v) -i- /log3'(a — v).

Outre que cette fonction présente des transcendantes logarithmiques, elle diffère encore, en général, de la fonction dérivée par l'absence de la double périodicité. Quand on ajoute une période à l'argument e/, elle se reproduit augmentée d'une constante. Ef-

feclîvement, soit 2(0 cette période : le terme — mol^(u — v) se reproduit augmenté de — amofi. En outre, 3'(w — r) se reproduit multiplié par — ^ar.di-i-i-fi)). donc llogd(u — i^) se reproduit augmenté de /log( — i)-l- 2lr^(u — ç' -f- w). La somme des termes analogues, puisque les / ont zéro pour total, se reproduit augmentée de — af4(/|r| -i- /ai^. . .). Donc enfin l'augmentation de la fonction est le produit de afj par une quantité dépendant de la fonction seule, non de la période choisie. Si cette dernière quantité est nulle, la fonction est doublement périodique, mais les transcendantes logarithmiques la distinguent encore de la fonction dérivée. Si, en outre, ces transcendantes disparaissent, alors l'intégrale est, elle aussi, une fonction rationnelle de pu et p' u. Les conditions pour qu'il en soit ainsi consistent en ce que les résidus soient nuls, et que les coefficients nio aient une somme nulle.

Intégrales elliptiques.

On désigne sous ce nom les intégrales de fonctions rationnelles

de X et de y/X, X étant un polynôme du quatrième degré en x.

Nous avons vu, au Chap. IV, que x et y/X sont exprimables, à la fois, en fonction rationnelle de pu dp' u. Si donc on prend u

pour variable, au lieu de x^ la différentielle F(x, y/X)rfjc se change en ^(pu, p' u)du^ et la fonction .f est rationnelle comme F. Donc les intégrales elliptiques sont explicitement exprimables, sous la forme que nous venons d'étudier, par des /onctions elliptiques de la variable u.

Dans tous les anciens Traités, on procède à une réduction des intégrales elliptiques, pour les ramener à trois espèces caractéristiques. Ces considérations ont de l'intérêt pour l'histoire des fonctions elliptiques, mais, dans notre mode d'exposition, elles sont dénuées d'utifité, tant pour la théorie que pour les applications et nous n'en parlerons pas.

Dans le cas particulier, signalé à la fin du paragraphe précédent où l'intégrale de rf est, elle aussi, une fonction rationnelle de j3/^ et j)'w,onla peut mettre sous la forme d'une fonction rationnelle dex

et de y/X. L'intégrale, en ce cas, n'est plus, à proprement parler, elliptique; elle s'exprime algébriquement. Les éléments du Calcul intégral fournissent, on le sait, des moyens simples pour recon-

naîlre ces cas. Nous n'avons pas à en parler ici; il importe seulement de savoir que Tinlervention des fonctions elliptiques, loin de masquer ces cas particuliers, ne pourra manquer de les faire découvrir quand ils s'offriront.

Un autre cas, bien plus intéressant, existe encore où l'intégrale peut s'exprimer sans le secours des fonctions elliptiques. C'est celui où d'abord les coefficients m^ ont une somme nulle, et dans lequel, en outre, la fonction soumise au signe logarithme est, elle-même, rationnelle en pu,p' u. Dans la somme des quantités analogues à (6), la partie logarithmique estlog[^(a — ^)]' [<3'(w — ^i)]''- • •• C'est un produit de fonctions (3*, avec des exposants quelconques. L'étude des cas où ces produits sont des fonctions rationnelles de pucip'u s'impose donc. Mais ce n'est pas seulement pour les intégrales elliptiques qu'elle importe (*). Nous allons y trouver un autre mode caractéristique d'expression pour les fonctions elliptiques, aussi important que la décomposition en somme d'éléments simples : c'est la décomposition en facteurs.

Expression des fonctions elliptiques en produits

de fonctions a'.

D'après la formule fondamentale (VI, 12),

tout polynôme entier en jDW, étant le produit de facteurs pu — pvi, pu — ^^^2? • • • ) peut être mis sous la forme du quotient d'autanl de facteurs i(u -^ i^)d(u — i^) et de (3' w )'*'', le tout à un facteur près, indépendant de w. Le quotient de deux polynômes entiers en pUy c'est-à-dire toute fonction rationnelle enpu^ peut donc être transformé en fraction de la forme

Il peut y avoir des zéros parmi les ^1, r^, . . ., v\, ^!,, .... Il y a autant de facteurs au numérateur qu'au dénominateur.

(') Dans le second volume de cet Ouvrage, on parlera plus amplement de ces intégrales, nommées pseudo-eUiptigves.

a 10 PRBMIÈBE PARTIE. — THÉORIE.

La fonction p^ u di déjà été représentée sous une forme analogue (VI, 5o)

*^ ~~ 0*0). Cw'. o'(tu -h tu') <iu,^u.<^u.

Ici il y a trois fonctions d à chaque terme; à chacune (3'(a + r) ne correspond pas, comme dans la formule précédente, la conjuguée (i{u — v). Mais les trois arguments, tels que v^ au numérateur, sont (0, w', — (o) + (»>'), et leur somme est nulle.

En multipliant par jd'^/ une fonction rationnelle Ae pu seulement, on obtient donc aussi le quotient de deux produits de fonction (3*. Ces deux formes sont, toutes deux, des cas particuliers de la forme générale suivante

comprenant autant de fonctions <i en numérateur qu'en dénominateur, avec celte condition, en outre, que la somme des zéros est égale à la somme des infinis

Grâce à cette dernière condition, la fonction f{u) est doublement périodique. En effet, si l'on change u en a -t- aw, chaque d se reproduit, multiplié par le facteur ± e^^^^^^^^K La fonction f{u) se reproduit donc multipliée par une exponentielle dont l'exposant est

,r u — (^i-f-W H- u — Pi-4-W-4-...-f- W — t^„-t-w"|

Il est naturel de rechercher si /(m) n'est pas une des formes par lesquelles on peut représenter toute fonction rationnelle en j3// et p'uk\?L fois. C'est ce qui a lieu, comme nous allons le montrer.

Considérons d'abord un polynôme entier en pu et pUi. Il peut être mis, on l'a vu dans ce Chapitre, sous la forme

F(a) = Co-f-C|pM -hCîp'w -+-... -HC;,p^«-i^(w).

Envisageons la fonction -p- — -. Elle devient infinie, soil pour

F(w)=o, soit pour u = o, A l'égard de ce dernier infini, les parties principales de F'(w) cl de F(w), pour u infiniment pelit,

sont respectivement celles de cp^^^u) et de cp^'^~*\u). Le résidu est donc le même que si Ton bornait F{u) au terme p^"''*\u) ou, plus simplement, si l'on prenait, au lieu de F(m), la fonction

-^^ • Le résidu est donc — (/i -+- i). Quant aux racines de F (m),

il en est ici comme si F( m) était une fraction rationnelle; chaque résidu est égal à l'ordre de multiplicité de la racine, et chaque infini est simple. Si donc (^i, (^2? • • • sont les racines de F(e/), distinctes, à des périodes près, avec les ordres de multiplicité [jl, , 1x27 •••^ les résidus sont [jL|, [jl2, ....

En appliquant à „ le théorème de décomposition en éléments

simples, on a donc

(6) -pr^ = c-i-[iiÇ(a — i'O-hfi, Ç(M--v,)-+-...--(/i-i-i)Çi£;

d'où l'on voit d'abord que la somme [jL| 4- [jl2 . » . est égale à (/i 4- 1 puisque la somme des résidus doit être nulle :

(7) [1, -+- (Xj-f-. .. = /1-+-1.

En prenant les fonctions

logF(a) et

CH- [JLi loga'(M — Pi)-+- [Xjloga(a — ^^1)-+-. .. — (/i-+-i)log jm,

dont les dérivées reproduisent les deux membres de (6) respectivement, puis, pussant des logarithmes aux quantités, on obtient l'égalité

(8) F(.) = Aec«f^:(^^^«>]^f^("-''«>l'^—

((XU)

nn-i

011 A est une constante. Mais la double périodicité de F(w) va nous permettre d'établir que c est nul et que ^t, ^2? • • • sont liés par une relation.

En effet, si l'on change w en w 4- aco, suivant un calcul déjà fait plus haut et d'après la relation (7), le second membre se reproduit, multiplié par une exponentielle dont l'exposant est

Cette exponentielle se réduit à l'unité, puisque F(w) a la période

2 0); Texposant est donc un multiple entier de 2/7:; ainsi, m élanl un nombre entier, on a

2ca> — 2([Aii'i-+- fAî^^î-H. . 0^1 = '^niiTz.

Semblablement, avec Taulre période, on aura

Multipliant la première égalité, aux deux membres, par — 0/, la

seconde par o>, puis ajoutant et remplaçant tjo)' — r/w par — » divisant enfin par itc, on obtient

[Xi V|-+- |JLji?2-h . . . = lin' Lu — 2mw'.

Cette relation exprime que la somme des racines de F(w), chacune comptée autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité, est égale à une période, ou, en d'autres termes, est égale à zéro, sauf une période.

Chaque racine ('i , ^2, . . . n'est déterminée qu'à des périodes près; altérons l'une d'elles d'une période de manière à réduire la somme des nouvelles racines à zéro. Par exemple, écrivons, au lieu du numérateur du second membre de (8),

3'(m — i'i— 2/iia>' -h 2m'w)[3'(a — i?|)]l*i-» [3'(w — ^2)]?^^

A cette altération des racines correspond simplement un changement des constantes c. A, puisque l'on a

3'( w — fi — am w' -h 2m'w) = zh 3'(m — v^ je<*"»'^-*"»^/H"-i',-+-//i'a)-mM'). Il est donc établi que l'on peut supposer dans (8) la relation

Mais, s'il en est ainsi, les deux relations trouvées tout à Theunî se réduisent, pour la nouvelle constante c, à

2CW r= 21)117: y

'icoi = 2mnz;

et leur simultanéité exige que c soit nul, w' et w ne pouvant èlvc. proportionnels à deux nombres entiers, puisque leur rapport csl imaginaire. Ainsi (en mettant /?, au lieu «le n -\- i):

CHAP. VII. — DÉCOMPOSITIONS EN ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN FACTEURS. 2l3

Théorème II. — Toute fonction entière de pu et p^ u peut être écrite sous la forme

le nombre des fonctions d au numérateur est égal au degré n du dénominateur, et la somme ^i + <'2-+-...4- v„des racines est égale à zéro. Quelques-unes de ces racines Vi, ^^2? • • • peuvent être égales entre elles.

Prenons mainlenant une autre fonction entière analogue F|(e/)

II peut se faire que quelques v^ reproduisent quelques v et disparaissent dans le quotient ~ — -• De même aussi, les dénominateurs (iu disparaîtront ou subsisteront, soit en numérateur, soit en dénominateur, suivant la grandeur de la différence (m — n). Quoi qu'il arrive, le résultat sera toujours conforme à l'énoncé suivant :

Théorème III. — Toute fonction rationnelle de pu et p' u peut être écrite sous la forme

le nombre des fonctions d en numérateur est égal au nombre des fonctions d en dénominateur ^ et la somme des zéros est égale à la somme des infinis

II peut, bien entendu, y avoir égalité entre quelques racines c, égalité entre quelques infinis v'\ il peut, parmi les uns ou les autres, s'en trouver qui soient égaux à zéro.

Proposition réciproque.

Cette proposition admet une réciproque : Toute fonction, telle que ^{u) (lo), est rationnellement exprimable par pu et p* u.

2l4 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Pour le démontrer, envisageons d'abord

avec rhypolhèse

Prenons d'autre pari, avec des coefficients indéterminés,

On peut déterminer les rapports de ces coefficients, de telle sorte que ^{u) ait les racines ('i, i^2> • • • ? ^n» Efiectivement, écrivons, en laissant de côté une des racines,

Ces (n — i) équations du premier degré vont déterminer les rapports mutuels des n coefficients c, si toutefois elles ne se réduisent pas à moins de (n — i) distinctes. Si ce dernier fait se produisait, il faudrait seulement conclure que quelques-uns de ces rapports peuvent être pris arbitrairement. De toutes manières, on peut les résoudre sans que les coefficients c soient tous nuls. Cela étant, à(u)j qui a un seul infini, multiple d'ordre n, an racines, donc une encore, outre t^i,. . ., v„i. Comme aussi la somme de toutes les racines doit reproduire une période, la dernière racine est v,t. Il existe donc bien un polynôme ^{u) ayant les n racines de o{u). Quant à l'indétermination de ce polynôme, elle ne peut exister; car, si Ton avait deux pareils polynômes, on pourrait en déduire un troisième qui ne contiendrait plus p^"~^^{u)^ et aurait ainsi moins de n infinis. Il ne saurait donc avoir n racines. Donc ^{u)^ à un facteur constant près, est entièrement déterminé. Maintenant A (w) sera exprimable sous une forme telle que 'f (w), et, les zéros étant les mêmes, on aura, à un facteur constant près, ^{u) = f (w).

Prenons maintenant ^(u) sous la forme (lo), avec la condition

Vi -h Pj-H . . . -H p,» = t'i -+- p',-4- . . . -H t^^ = V.

Déterminons deux polynômes, tels que A(w), d'ordre (/i -h i) tous deux, par la méthode qui précède, savoir

(CTM)'

CHàP. VII. — DÉCOMPOSITIONS EN ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN FACTEURS. 21 5

et nous aurons

C'est ce qu'il fallait prouver.

Il y a là une remarque à faire. La forme en produit est beaucoup plus parfaite que la forme rationnelle en pu, p'u\ elle met en évidence les zéros et les infinis sans aucun facteur étranger. Pour passer à la forme rationnelle, il faut introduire un facteur étranger, qu'on ne saurait éviter.

Théorème d'Abel.

Dans les énoncés des théorèmes I et III, il y a une partie qu'il faut surtout remarquer, c'est d'abord (théorème I) :

La somme des résidus d^ une fonction rationnelle de pu et p' u est toujours égale à zéro;

Et, dans le théorème III :

La somme des racines est toujours égale à la somme des infinis (à des périodes près).

Ce second énoncé, dans sa forme générale, se déduit d'ailleurs immédiatement de l'énoncé spécial, partie du théorème II :

La somme des racines d'une fonction entière de pu et p'u est égale à zéro (à des périodes près).

C'est en cela que consiste, non pas le théorème d^Abelj mais le cas particulier de ce célèbre théorème concernant les intégrales elliptiques. En voici la démonstration directe, que nous avons déjà employée dans un cas simple (Chap. II), telle, sauf un changement de langage, qu'Abel l'a donnée d'abord.

Soient M et N deux polynômes entiers par rapport à x = pu; la forme générale d'une fonction entière depuei p'u est M 4- N j)'w. Nous désignerons par m et n les degrés respectifs de M et de N. Les racines sont fournies par l'équation

(n) M-+-Np'a = o,

qui, rendue entière par rapport k x = pu, devient

(12) F{x) = M«— N«(4a?»— ^la? — ^,) =0.

Le degré q de cette dernière est le plus grand des deux nom-

2lG PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

bres 2m, 2/i -|- 3. Supposons maintenant variables les coefficients de M et N. Les racines x de Téqualion (12) et, par suite, les racines u de la fonction proposée, varient en même temps, et la différentielle totale de F(:r) est nulle. Désignons par 8M et 8N les différentielles totales de M, N, où on laisse x constant, c'està-dire ces polynômes mêmes où seulement chaque coefficient est remplacé par sa différentielle. Cela étant, et rfx, du désignant les différentielles totales de x et de </, on a

Y\x) dx -+- 2M8M — 2N 8N(4 x»— ^,37 — g{) = o,

dx =^p' u dUy

De là se conclut d'abord

(i3) F'(a:)p'arfM-+-2M8M — 2NoNp'«a = o.

Mais, suivant (11),

M=— Np'a, Np'«M= — Mp'M.

Remplaçant, au second terme de (1 3) M et, au troisième terme, Njj'^w, par les deux expressions qu'on vient de mettre en évidence, puis supprimant le facteur commun p'u et divisant par

F'(x), on obtient

N8M — MSN

Chaque racine x de (12) donne lieu à une pareille égalité. Désignant par U la somme des arguments-racines 2/, on aura donc

(i4) rfU = 22

et la sommation, au second membre, s'applique à toutes les racines a: de l'équation (12). Cette somme est nulle, d'après le théorème d'Euler, classique dans la théorie de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples : si le degré du polynôme 4>(ar) est inférieur de deux unités au moins à celui du polynôme F(j;), la somme des quantités ^{x): ^' {x) est nulle quand on y met successiKement pour x toutes les racines de¥ {x), supposé n*avoir que des racines simples (*). D'abord F(^) n'a pas de racine

(*) Rappelons la démonstration : suivant les hypolhèscs, la fraclion 4*(j;): V i^x)

multiple tant que les coefficients de M, N restent indéterminés. Quant au degré de N8M — M3N, c'est m -\- n, tandis que le degré ^ de F est le plus grand des deux nombres 2 m, 2 /i + 3. Or on peut écrire, en premier lieu,

Si 2 /ï -h 3 est supérieur à 2 m, on a 2 m ^2/1 4- 2, par conséquent

n — m 4- 1 = 0; donc m-hn^q — 2. En second lieu, écrivons

aussi

/n-i-/i = 2/ii — 2 — (m — n — 2).

Si 2 m est supérieur à2/i-h3,ona2m^2/i-i-4> par conséquen l m — n — 2^0; donc m-h n'^q — 2. Ainsi le degré de N8M — MoN est au plus égal, dans tous les cas, à ^ — 2, et la somme (i4) est nulle. Donc U est une constante ne dépendant pas des valeurs particulières qu'ont actuellement les coefficients de M et N. Si, par exemple, on suppose M réduit à Tunité et N à zéro, toutes les racines x deviennent infinies, les arguments u se réduisent à zéro (sauf des périodes), et la somme U est alors nulle. Elle est donc toujours nulle ou mieux, toujours égale à une période.

On voit que cette démonstration ne se modifie, pour ainsi dire,

en aucune façon, si l'on remplace y/4 ^' — g2^ — ^3 par la racine carrée d'un polynôme entier quelconque; en ce cas le théorème vise des transcendantes plus élevées que les transcendantes elliptiques. Mais Abcl ne s'est pas borné à cette généralisation, et son théorème s'étend encore aux transcendantes abéliennes (ainsi nommées par Jacobi), qui naissent de l'intégration d'une fonction algébrique quelconque. Nous n'avons pas à donner ici plus de détails sur ce sujet.

Une remarque doit être faite dans la démonstration qui précède : le nombre des racines x est égal à q, c'est aussi le nombre des racines u. D'après une partie des théorèmes II ou III, le nombre

se décompose en fractions simples sous la forme ~ — = 7 rr, ,\

07, étant une racine quelconque de F. Multipliant par x aux deux membres, etsup posant X infiniment grand, on a zéro pour limite du premier membre, et

pour limite du second.

des racines est égal au nombre des infinis. Il faut donc reconnaître que l'ordre de multiplicité de l'unique infini m == o, pour la fonction M 4- N j>'m, est égal à q. Or cela est visible : car, pour M, cet ordre est 2 m, puisque pour pu Tordre est égal à 2; pour N, cet ordre est 2/1 -H 3, puisque pour p' m l'ordre est égal à 3. L'ordre de multiplicité est donc le plus grand des deux nombres 2 m, 2/1-1-3, c'est-à-dire le degré q.

Addition d'arguments en nombre quelconque.

Soient ^1, 1/2) • • M '^/t des arguments quelconques.

On peut construire une fonction entière en p m et jd'w, qui admette ces arguments pour racines. On prendra pour celle fonction

et l'on déterminera les rapports mutuels des coefficients par les conditions

/(wi) = o, /(a,) = o,

La fonction est donc ainsi déterminée, à un facteur constant près. Elle a pour expression, sauf un facteur constant et arbitraire,

(i5) o„(m, M,,ai,...,a„) =

pu

. . p^n-Du

PUi

P'Ui .

. . p^^-^hii

pUi

p'Ui .

p'Un .

D'après le théorème d'Abel, elle a encore la racine Donc le déterminant (i5) est nul quand la somme

M -+- Mi-h Mj-f-. ,,-\- Un

est nulle. C'est là, comme on voit, un théorème d'addition très général, et que nous connaissons, depuis le Chapitre II, pour le cas n = !À.

Nous pousserons plus avant dans l'étude du déterminant (i5), et l'exprimerons complètement par un produit de fonctions a*. L'en-

visageant comme fonction de u et connaissant ses racines, nous pouvons écrire immédiatement

?!»(«» "1» Wî)...,W/i) = Cn '■ (g'M)/»-»-! ^ '

et Cn ne dépend pas de u. Pour déterminer cette constante, prenons, aux deux membres de Tégalité (i6), la partie principale quand H est infiniment petit.

Pour ffnt on obtient sa partie principale, dans l'expression (i5),

par le seul terme p^'^~^^u^= n i +• • • > qui se trouve mul-

liplié par un déterminant mineur. Ce dernier se déduit du déterminant (i5) par la suppression de la première ligne et de la dernière colonne; c'est le déterminant analogue à ^nt mais avec un argument u en moins. C'est donc ^n-\{u\^ ii2) •••? W/i)« De plus il est affecté, quant au signe, du facteur ( — i)". En mettant pour On-% une expression analogue à (16), nous avons donc, comme partie principale de <p„, w~^"'*"*\ multiplié par le coefficient

, q'(Mî — u\) g'(f/3 — ux). , . q*(u|4- Mi-i-... -4- Un)

Quant à la partie principale du second membre de (16), du ayant u pour partie principale (VI, 10), ce sera a"'^''+*\ multiplié par

Égalant entre eux ces deux coefficients, nous obtenons

. , q^(Mi— Mî) g'(ft|— Ma)... t^{Ux—Un)

De même

Cn-x- ^/l-i;. {^Ui)n<iUz(iU„.,.:fUn '*"" •••.. • J

:ï{Un-x—Un) ^

II est visible que Cq est l'unité. Multipliant ces égalités membre à membre, on en déduit c^, et l'on conclut

<?„(«, «„«„....«„) = (-.)'.a!3!...«! (^„tf^.^^,...tf«„)^. ^'

Le symbole II, dans celle formule, comme dans les suivanles, indique le produil de divers fadeurs analogues.

Expression de ^n(u) sous forme de déterminant.

Examinons comment se modifie celle égalilé (17) quand quelques-uns des arguments deviennenl égaux enlre eux. Supposons

Un — Un-i = h

infînimcnl pelil. Remplaçons, dans le délerminanl (i5), les élémenls de la dernière ligne par leurs diCFérences avec les élémenls correspondanls dans la ligne précédente. Comme h est inOnimenl pelil, pun — pfin-i converge vers A p'tt„i, el ainsi des aulres. La parlie principale de (fn esl donc le produil de h et d'un délerminanl qui diffère de (i5) par la dernière ligne seulemeni. Dans ce nouveau délerminanl ç„^i la dernière ligne est

O, P'm.7-1, P'M/1-1, ..•» p^"^Un^i-

Dans le second membre de (17), le fadeur d'(w„ — Un-i) a pour parlie principale h.

Égalant les parties principales, on a

( a>[i, a,p = o,i,2,...(Ai — 2).

Supposons maintenant u^-i — W/ï 2=A< infiniment petit. On obtient la parlie principale de <p/i,i, en combinant les élémenls des trois dernières lignes, et cette parlie principale esl le produil de i/ij par un nouveau délerminanl <p„^,, différent de ç„ par les deux dernières lignes qui sont

o, p'Un-it P'Un-t, ..., P^"^Un-t, O, p'Un-iy p'"Un-t, ..., p<«-^«^a«,.

Prenant de même la partie principale au second membre de (18), on voit qu'elle esl formée par le facteur [a'(f/„< — ««-2)]^? et l'on a

?/»,î-^-i; U-; ^'-n- (S'il cri/, cri/,... 5"a«,)«-i

On voit clairement qu'on peut continuer ce mode d'analyse et supposer finalement tous les arguments égaux entre eux. Mais il est mieux d'obtenir ce résultat final d'un seul coup au moyen d'un petit théorème, souvent utile dans les applications des déterminants au Calcul infinitésimal.

Sbient/i, /2, . . ,^/mdes fonctions d'une variable //.Envisageons le déterminan t D composé avec les m^ éléments /p(w -h a^), où/?, r/ sont les entiers 1,2,. ., m. Dans une même ligne, celle de rang y, la lettre/a les divers indices i , a, . . ., m, et la lettre a le seul indice q ; dans une même colonne, celle de rang/?, la lettre /a le seul indice/?, et la lettre a, les indices i, 2, ...,m. Le théorème dont il s'agit donne l'expression de la partie principale de ce déterminant D, quand rt|, aj, . . ., a,n sont infiniment petits. Voici comment. Prenons pour chaque fonction les m premiers termes de son développement par la série de Taylor sous cette forme

en sorte que e^^^ est un infiniment petit. Abréviativement

Soit D, le déterminant des quantités Ap^g, Il est manifeste que le rapport D : D| converge vers l'unité quand les e sont infiniment petits. On peut donc substituer D| à D dans celte question. Mai s D|, d'après la règle pour la mulliplication, est le produit de deux déterminants ; l'un d'eux D'est composé des éléments /*^'(//),

l'autre D* des éléments — 7- Pour ce dernier, on connaît son ex-

pression explicite; aux factorielles près, c'est le produit de toutes les difl'érences (aq — a^'), oii l'on prend partout q }> q'.

Appliquons cette proposition au déterminanty„i(wi, «/j, ..., «,/), en y supposant Us = a -|- «i, ^2= u -H «2? • • • > ii„= u -i- (in et

Les dérivées de /i étant nulles, le déterminant D' se réduit à un mineur de (n — 1)^ éléments. La partie principale de

est donc

el ce déterminant D' a ici Texpression suivante :

(19) On(") =

pUi-l) u

pin^V u

pKtii^Z) u

Mais, d'autre part, d'après la formule (17) où l'on change n en {n — i), uenu^j U\ en 1/2, ••., la partie principale de ç„i est aussi

(-i)»-«a!3!...(/.-,)!^Ç^JJ( «,-«,,).

D'ailleurs Ug — tt^= Uq — a^', d'après la supposition Wç=: w 4- a^. Nous avons donc ainsi la formule

Il faut se rappeler qu'on a prouvé (VI, 55) l'égalité

^n{u) étant l'importante fonction qui sert de base à la théorie de la multiplication de l'argument. Au Chapitre IV, on a vu comment cette fonction se calcule par voie de récurrence. Nous en trouvons ici une expression sous forme de déterminant. Celte dernière, pour le calcul efiectif, n'est d'ailleurs pas d'un emploi pratique. Mais elle offre un grand intérêt au point de vue théorique. Elle se rattache notamment à la théorie des fractions continues d'une manière curieuse, comme on le verra dans une application.

Fonctions analogues à snu, cnu, dn u.

Voici une autre forme de l'analyse qui précède, propre à mettre en lumière des circonstances nouvelles. Désignant par m un entier positif, considérons la fonction

D'après la proposition réciproque du théorème III, c'est une fonction entière de pu, p' u\ comme Tinfîni w= o est multiple

d'ordre (m -h i), on pourra la mettre sous la forme

(22) X(") — ^0-+- «j pM-f-aip'a-i- azp'u-\-.. ,-\-amP^'"~^^u.

Si l'on veut déterminer les coefficients a, la méthode générale pour la décomposition en éléments simples nous indique le procédé qu'on doit suivre : développer y^{u) suivant les puissances ascendantes de u. Bornons-nous à prendre le premier terme de ce développement; c'est, d'après (21), le produit de w"('»+*^ par

[(tfa)'»^iX(")]a=o = (-i)'"(^r~S=(-0'"4'/n(i').

D'autre part, dans le polynôme (22), le coefficient de //~f'»+*^ est ( — 1)'"~* a. 3. . . . mam- On a donc immédiatement am '

(23) «« = — ■=rt4'/«(t').

Nous pouvons encore déterminer les coefficients a, en développant les deux membres de (22) suivant les puissances ascendantes de (u — v). D'après (21), les m premiers termes doivent manquer. Quanta celui de rang (m -h i), qui contient {u — v)'^ en facteur, son coefficient, d'après (21), est

Voici donc (m -H i) équations qui déterminent les coefficients a : ao-t-aipp rha^p'v

aipv -^a%p V aip" V -f-ajp'*'p

-f- . . . -f- fl/rt ptm-l) p = 0,

^sP^"^

ûjjpi/n)p -Hajpt"*-^-*^p -f- aj p^"»-+-*^ i* -h . . . -+- a,„ pt*'"-!^ i? =^ iw! ^l^^-i-iC*')

Le dénominateur, commun aux expressions des inconnues a, est le déterminant trouvé tout à l'heure (19), sauf un changement des lettres : c'est ^m+i ( <^)- Prenons maintenant le numérateur pour l'expression de a„i', d'après la théorie générale des équations du premier degré, on forme ce numérateur ici, en remplaçant, dans le déterminant précédent, les éléments de la dernière colonne par les seconds membres. On voit par là que ce numérateur est

226 PSSMIÈBS PIRTIE. — TflAOftiE.

Quant aux autres termes, ceux où Tindice m est égal à

I, a, ..., (n — i), ils prennent la forme commune

^(^1— *m) a'(6,— 6,,,)... a'(^m- 1 — M G'(^>m-hl — ^m)... ^(bn-i—bm) (^{u — bm)

Pour mettre en pleine lumière la relation (27) dans cette nouvelle forme, soient encore

d'où résulte, d'après (26), r'^ — <'/!= B — A. Nous pourrons dès lors écrire notre égalité comme il suit :

(ï{u — 61) a'(tt — bi). . . a'(a — b^-i)

( 9; ^ -^ a'(6;„-^»,)a'(6;„-6,)...Cï'(6;n— ^m-l)a'(6;,,-^;„^,)...a'(6«— 6;»-|)

a'(B-A) cf(u^b^)

Dans cette égalité (29), tous les arguments sont quelconques, et A, B désignent, comme Tindiquent les relations (28), les sommes respectives des a et des b. Considérons tous ces arguments comme des constantes, u seulement comme variable. Nous voyons alors au premier membre de (29) une fonction de u, composée parle quotient de deux produits, chacun comprenant pareil nombre, mais quelconque, de fonction t^. An second membre, apparaît une somme de termes, dont chacun, sauf un facteur indépendant de z/, contient seulement le quotient de deux fonctions d. C'est donc une véritable formule de décomposition en éléments simples. U convient de s'y arrêter pour bien reconnaître la nature du premier membre, et ht composition du second membre.

La fonction qui figure au premier membre n'est pas exprimable rationnellement en pu et p' u] il lui manque, pour qu'il en soit ainsi, Tégalité entre les deux sommes A et B. On voit même immédiatement comment, au cas où A deviendrait égal à B, la formule dégénéreraîl ea celle (3) qui fournit la décomposition des fonctions rationnelles, car tous les termes du second membre con-

tenant, en dénominateur, le facteur évanouissant (3'(B — A), il est

certain que ce second membre doit s'ofirir sous la forme -; il sera

donc remplacé, en chacun de ses termes, par le rapport des dérivées prises relativement à (B — A), et Télément simple se changera en^{u — bm)' La même circonstance aurait lieu si B — A était une période.

Le premier membre de (29) n^est pas doublement périodique. Si Ton change u en {u'i-2Q), il se reproduit, multiplié par la quantité e*^«^*"^\ indépendante de u. C'est aussi par cette même constante que se multiplie, en même temps, chaque terme du second membre (29).

On le voit, la quantité (B — A) caractérise assez le premier membre, quel que soit le nombre de ses facteurs, pour qu'on puisse immédiatement en déduire la fonction analogue, mais composée d'un seul facteur

de telle sorte que le premier membre pourra s'exprimer parla somme

Ri <p( M — 6,) -i- R,?p(a — 6,)-+-. . .-+- Rrt i©(i£ — 6«i).

Dans cette somme, chaque terme reproduit un des infinis de la fonction proposée. Le coefficient R correspondant est le résidu, relatif à cet infini ; c'est efiectivement ce qu'on voit d'après la forme du coefficient dans (29), mais aussi ce qui est évident par ce fait que f{u)j pour a = o, a l'unité pour résidu, c'est-à-dire

lim[a?p(a)]a=#=i.

Multiplicateurs •

La propriété qui consiste à se reproduire multiplié par un facteur constant quand la variable s'augmente d'une période appartient à des fonctions un peu plus générales, dont voici le type :

Elles ont, de plus que les précédentes, le facteur e^. Les multiplicateurs ou facteurs constants par lesquels cette fonction se

multiplie quand on augmente u des deux périodes distinctes 2(o, 2(1)' sont

Introduites dans Tanal^'se par M. Hermite, ces fonctions ont reçu de lui le nom àe fonctions doublement périodiques de se^ conde espèce.

Les deux multiplicateurs sont quelconques; on peut trouver des fonctions pour lesquelles ces multiplicateurs soient à volonté. Effectivement, si [JL et [Ji' sont donnés, les équations (3i) feront connaître (B — A) et p; ce sont deux équations du premier degré, où

le dénominateur commun est r.tJ — t/(o = «-j et voici la solu-

tion :

(Si) iTtp = T, log fx' — Tj'Iogfx, iir(B — A) = (o'log{jL — wlogix'.

Il faut avoir soin de noter à part le cas où B — A serait une période (2//ia>-f- 2/7i'(o'). Ce cas aurait lieu si (logjji — im'iTz) et (log[Ji'-f- amiiî) étaient proportionnels à to et co'. A cause de Tindétermination de la fonction logarithmique, c^est en un mot le cas où les multiplicateurs ont des logarithmes proportionnels aux périodes qui leur correspondent. La fonction F(«/), ainsi qu'on l'a vu tout à l'heure, est simplement alors le produit d'une exponentielle par une fonction doublement périodique ordinaire.

Décomposition en éléments simples.

Laissons de côté ce cas particulier, et, (B — A) n'étant pas une période, prenons l'élément simple «p(w), modifié par le facteur exponentiel

D'après l'égalité (29), nous aurons (33) F(a) = R,*(m — ^>,)h-Rj4>(m— ^>,)H-...-4-R„, 4>(M — 6„,).

U s'agit de reconnaître comment cette décomposition en éléments simples se modifie, quand les infinis b ne sont pas tous distincts, quand, par conséquent, il s'en trouve qui soient multiples.

Supposons que ftj, 62» • • • 1 ^ix dépendent d'une variable jr, atteignent, pour ^ = o, la valeur commune 6, et que leurs dérivées aient, à cette limite, des valeurs finies toutes différentes entre elles. Chacun des résidus Rj, R^, . . ., R,jl, comme on le voit dans (29), contient en dénominateur (|jl — i) facteurs a*, dont les argumenls sont des différences de ces quantités b. D'après nos suppositions, chacun de ces résidus, pour x évanouissant, est infiniment petit de l'ordre {^ — i), x étant ['infiniment petit principal. Tous les autres termes de l'égalité (33) conservent des valeurs finies; il en est donc de même de la somme des [a termes considérés. Cette somme s'offre donc sous forme indéterminée. Son dénominateur commun est infiniment petit de l'ordre (jjl — 1)^ sa valeur limite s'obtient donc en remplaçant le numérateur et le dénominateur, chacun par sa dérivée d'ordre ([jl — 1). Cette somme, au point de vue de la quantité w, est linéaire par rapport aux jjl quantités ^{u — 6a). La dérivée d'ordre ([x — 1) de ^{u — bk) est composée linéairement avec cette quantité elle-même et ses (jjl — 1) premières dérivées *', «ï»", . . ., <ï>fl^"0. Puisqu'enfin 6|, 62, ...,6p. ont la limite commune 6, l'expression limite de la somme est une fonction linéaire de <ï>(w — 6), <ï>'(u — b), . . ., <ï>^M'-0(^ — l^y Donc la formule générale de décomposition peut être écrite ainsi

(34) Y{ii) = 2[Sjj.-, i>tl^-»'( 1/ — 6) -h Sjj.5 *(l^-«Hw — 6) -h. . .-t- S, *'(m ^) -u R <ï>(a — b)].

Le signe sommatoire s'applique aux divers infinis b de la fonction F(;/), et la lettre jjl représente l'ordre de multiplicité de cet infini.

Quant à la manière dont on pourra déterminer directement les coefficients, elle est, de tout point, semblable à celle qu'on a expliquée précédemment pour les fonctions doublement périodiques ordinaires; c'est aussi la même que pour les fonctions rationnelles algébriques. Effectivement, chacun des termes mis en évidence au second membre de (34), étant développé suivant les puissances ascendantes de (w — 6), fournit un seul terme à exposant négatif, tandis que toute la partie relative aux autres infinis fournit seulement des termes à exposants positifs. Le développement de F ( «/ ) suivant les puissances ascendantes de ( z/ — b) contient donc, pour seule partie fractionnaire, l'ensemble

(35) F(,/ . = (-,)!^-« [lJi=^ S;,.,-^Ji;=:^ Sj,,-v,..+(-,).^^S,+(^

33o PlEMifcRB PÀlTIB. — THfiOHIB.

En formant directement ces termes, on aara les coefficients. Le dernier R est le résidu.

Exemple de d^omposition.

Voici un exemple où il se trouve un seul infini, mais double :

F(tt)= -^ \^ -^€9*,

o'(tt — «i) = — a'ai(i— aÇai-h...)> o'(tt — Oî)= — a'aj(i — aÇaj-f-.,.),

F(a) = Cat Ca, Fi -+- (p — Ça, — Ça,) ^ -H. . .J ,

jj±;^F(u) = -*'(u)-t-(p-Ça,-Ça,)*(a),

, . ^(m — ai — Oj) ^^

*( II) sss -1 . */ «P**.

tf(a|-t- aj) <3^M

En particulier, si l'on prend p = 2^ai4-!^aa, on a cette formule, qui se présente dans des applications,

^ ^ Ca, Co, [(<ï'm)' rfaL <5'm J

Développement des fonctions de seconde espèce.

Les développements qu'il faut employer pour déterminer les coefBcients de la formule (34) s'offrent sous une forme très incommode ; la présence des dérivées successives de d* y serait fort gênante dans les applications. Voici comment on peut, à leur place, amener dans les coefficients les fonctions p et p'.

Prenons d'abord la fonction, un peu moins générale que O,

dont la dérivée logarithmique

se développe ainsi {voir le développement de ^u : V, 1 1) ©(w) u ^ 1 \ 6 bo/

Intégrant aux deux membres, observant que [w'f(w)]M=o est Tunité et posant

M* m' uy

on conclut

^(M) = i ef^^^ = i/ 1 4- P, ^ -h P, -^ + P4 ^ "' , -+-...), ^^ -^ a u\ 1.2 1.2.3 1.2.3.4 /

P,= A„ P,= A,, P4 = A4-f-3Aî,

P, = Aj-f- loAi A3, Pe = Ae-f- 15 A, A44- 10 A| -4- i5Aj|,

et ainsi de suite. Nous avons, d^autre part,

A, = — pp, Aj = — pV, A4 = — p'i'-h^

A, = — p'"i>, Ae = — p'V-4- -^, ....

Réduisant les coefficients P à ne contenir que pv et pV, nous trouverons successivement

( Pî = -P«', P, = -pV, Pv = -3p«i>-4-f^„ (37) <

j Ps = — apj'p'i', P6 = — Sp't' — ^,p(;-+-M^3,

Ce calcul direct est un peu laborieux; on trouvera, à la fin de ce Chapitre, un moyen de le rendre plus facile. Le point important, c'est que les coefficients P sont, on le voit, des fonctions entières de pv et p'r.

Prenons maintenant la fonction <t> quelconque, et mettons le coefficient p de l'exposant sous la forme x — X^ç^ nous aurons

£(ii±i^e<*-Ç»'J«== - -+-:r4-(a:«^-P0" -4-(^»-f-3P,a:-f-P3)-^

CPO*!* U ^2 ^2.3

-+-(37^ 4- 6 P, a?» -+- 4 Ps^ -+- P4 )

(^®) \ 4-(^-*-ioP,a?5-4-ioPja7«-+-5P4a?-t-P5) — ^i--T

4-(j7«4- 15 P,a7^4- 20 Psa;»4- 15 P4aT« 4- 6 PjiT 4- P«) -— îîlL-^

a32 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Le coefficient de — — se représente symboliquement par

les exposants de P sont remplacés par des indices, et la première ])uissance de P par zéro.

Autre exemple de décomposition.

Soit à décomposer

F( M ) = — — ^^ 6'<îî«i-^-î««-»-C'iî'".

En prenant successivement, pour c, — a^, — a^, — o^^ on aura

e-<^= .Dr4-

Multipliant les trois premiers membres ainsi obtenus et, en même temps, les seconds membres, on obtient

F(f/) Il

— (i>«i-H|)aj-i-pa3)-+-. ..,

2 F ( w ) ^ ff . . . ^ /

^^ ^^ ^^ rrr 4> (|/ ) — ( |) flf , -^ pa, -^ J) flj ) *( M ),

On peut, dans la formule (3(>), comme aussi dans celte dernière, supposer égaux entre eux les arguments a., et Ton voit que toutes les puissances, à exposants entiers, des fonctions de seconde espèce, s'expriment linéairement par des fonctions de cette nature et leurs dérivées.

Cas singulier des fonctions de seconde espèce.

I^e cas singulier ('), où les logarithmes des multiplicateurs sont proportionnels aux périodes correspondantes, n'offre pas de fonction nouvelle au point de vue théorique. Chaque fonction, dans le cas singulier, est simplement le produit d'une exponentielle <?P"

(') Signalé à Tattenlion par M. Millag-Lcfllcr {Comptes rendus de l'Académie . des Sciences, l. XC, 1H80, p. 17**).

par une fonction rationnelle de pu cl pu. Il est néanmoins utile, pour certaines applications, de mettre, pour ces fonctions, la formule de décomposition en éléments simples sous une forme en rapport direct avec leur nature.

Soit/(w) une fonction rationnelle de pu et jVi/, décomposée en éléments simples conformément à la formule (!^) :

En multipliant les deux membres par ^P", nous aurons Tcxprcssion d'une quelconque de ces fonctions singulières. Prenons maintenant pour élément simple, au lieu de Ç, son produit par la même exponentielle :

On aura généralement

par conséquent, la formule de décomposition pourra s'écrire ainsi

( i{) ) /( if ) = ce?" H- 1 A;, V cp^^' ( n — i'« ).

Sous le signe sommatoire figurent successivement tous les infinis (',/ de/(//), et les dérivées cp^''^ jusqu'à Tordre immédiatement inférieur au degré de multiplicité de cet infini.

Il va de soi que, dans cette formule (39), les coefficients se déterminent, comme dans le cas général, par la partie fractionnaire du dévclop[)ement de /(u) suivant les puissances de (u — r„). Seul, le premier coefficient c doit être calculé à part. Mais il faut surtout remarquer que les coefficients A sont liés par une relation, traduisant l'égalité primitive

Pour avoir cette relation, revenons de la formule (3()) à la formule primitive, ce que nous ferons au moven de la relation

cpv^ tt ) -^ e?" ( pv Cm '■- - pv-i ;'« -f-. . . V On voit parla que le terme A,/^v '-^^'^''^ — *'//) fournit à la somme

234 PRBMTÈM PARTIE. — THÉORIE.

L le terme A^i^y p^ Ç( w — r„)^~P*''». Il existe donc entre les coefficients la relation

(4o) 2A„,vpV-P»'«=o.

Celle relation (4o) est d'ailleurs nécessaire pour que le second membre de (Sq) soit doublement périodique de seconde espèce. En effet, d'après la définition de f (m), nous avons

e-«ûp«p(a-4- au) = ?p(a)-i- 2f,eP",

Par conséquent, la fonction (39) donne lieii à la relation

«-'^P/(a -f- 2(5) =/(a) -f- 2f^6P'* 2 Art vP^«-P*'-.

L'égalité (4o) est donc exigée pour que/(« -h itb) reproduise f{u), multipliée par le multiplicateur e^^P.

Cas où les multiplicateurs sont des racines de l'unité.

Ces cas n'offrent aucune exception à la théorie générale, mais l'élément simple est particulièrement intéressant. C'est celui que nous avons déjà rencontré (24).

Soient

/ in

n et n' étant des nombres entiers. Nous avons déjà vu que la puissance m*'"" de/( a) est doublement périodique ordinaire. La fonction/(a) doit donc avoir pour multiplicateurs des racines /n*^™" de l'unité. Effectivement, prenons une période quelconque

Le multiplicateur correspondant, c'est l'exponentielle ayant pour exposant

a(5a> — (^t)= —inp — /ii>)(7i(i} — T (d)= -i- i- 2111.

Ainsi le multiplicateur jjl a pour expression

\L=ze

^np'—n'P .

c'est une racine m'*"* de Tunité. Nous avons déjà observé que ces

fonctions particulières comprennent les trois radicaux y/p u — ^^ et généralisent, par conséquent, les fonctions anciennes sni/, en m, dn </. A l'égard de ces dernières, on a vu (Chap. II) qu'aucune d'elles n'a les périodes 2(o et 2(o', mais que toutes se reproduisent multipliées par ± i , quand l'argument s'augmente d'une période . Ces faits concordent bien avec ceux que nous rencontrons maintenant.

Deuxième méthode pour le développement des fonctions

de seconde espèce.

Reprenons la fonction de seconde espèce et considérons sa dérivée logarithmique

qui, d'après la formule (V, i5) d'addition pour !^, peut s'écrire

y'(M) __ I ji* a — ^'v «P(m) ^ 2 pa — ji9

Conformément au théorème fondamental d'addition (p. 29), on a donc

Mais, en prenant la dérivée dans les deux membres de (4^)7 on a aussi