t0 -^- ip' lu' , ,

où l'on doit mettre pour p et p' les entiers depuis zéro jusqu'à n — I, en exceptant la combinaison /> = o, /?' = o. Le nombre des arguments w,, est donc /z-— i ; leur somme est une période

Le produit de w,i par un des entiers 1,2, . . . {n — i) est encore un argument w,,. Prenant donc l'un quelconque des arguments Wn^ on peut former, avec lui, le groupe {^Vn) composé des arguments

Si l'on avait pris, au lieu de Wn-, l'un quelconque mw,i des arguments du groupe, on retrouverait ce même groupe; car les nombres m, 2m, . . . , (n — i) m reproduisent 1,2, . . . , /i — i à des multiples près de n.

FRAGMENTS DIVERS. igS

Soit maintenant (^v)^ un autre argument étranger à ce groupe ; on formera, avec lui, un autre groupe tp)^, composé des arguments

ce dernier est entièrement différent du précédent. En effet, comme on l'a montré pour le précédent, il se conserve, si, au lieu de iv'^^^ on prend pour le former un quelconque des arguments mw',^. Si donc un de ces arguments appartenait au premier groupe, tous les arguments appartiendraient aussi à ce groupe, ce qui est contre l'hypothèse.

En poursuivant de même, on voit les n- — t arguments iv,i se répartir en groupes, dont chacun contient n — i arguments. Le nombre de ces groupes est ainsi n -+- 1 .

Au moyen de la formule (i), on peut faire aisément la distinction des groupes. Pour avoir des résultats d'une forme générale, il convient d'admettre que les nombres/? elp^ sont déterminés à des multiples près de n.

Deux arguments (p-, p') et (r, r') appartenant au même groupe sont caractérisés par la condition

(•?.) /?r' — p'r^n^o (mod n).

Cette égalité a effectivement lieu si l'on a pris /• et /•' égaux à 77ip et mp'. Inversement, la congruence ayant lieu, soit

(3) pr' — p'r = ixn;

on en conclut

p{r' -+- v'/z) —p'{r -J- v/i) = n(iJ.-h p^y — />'^)-

On peut trouver v et V par l'égalité

jD v' — /?' V -I- [ji = o ;

car, si p etp' ont un facteur commun, ce facteur, d'après (3), appartient aussi à |JL. Cela étant, r -i-yn et r' -\- y' n sont proportionnels àp et p'; ce qu'il fallait prouver.

Supposons maintenant un argument (/',/'') qui n'appartienne pas au groupe de (p^p')^ en sorte que la congruence (2) n'ait pas

lieu. On pourra trouver un entier m par la condition ni{pr' — /)'/') r:s I (mod /i).

On voit donc qu'il j a, dans chaque groupe, un argument (/•, /') caractérisé par la condition

(4) pf^' — p'r^^i (mod /i).

On peut donc figurer les divers groupes comme il suit par le premier argument de chacun d'eux, en supposant que r et 1' constituent une des solutions de la congruence (4) •

ilhP'), {r^r'), {r-i-p, r -i-p'), {r ■+■ 2p, r' -i- ip'),

Dans cette figuration, le premier argument, dans chaque groupe, dépend essentiellement du choix de (/?, p').

Il est permis, sans restriction, de supposer p et p' premiers entre eux; car, en prenant pour v tous les entiers, on reproduit, au moyen des nomhres p -^-v/^, tous les entiers, à des multiples près de p', 11 existe donc des nombres p •+- v/i, premiers avec p'.

Ayant ainsi choisi/? el p' premiers entre eux, on peut, au lieu de la congruence (4), prendre l'équation

(5) pr'—p'r=^i

pour définir le premier argument du groupe suivant. Soit posé maintenant

/?(0 4-/> w = fo roj -i- /''oj' = ô>'

L(^s groupes sont ainsi figurés

'1(7) 2fo' 'À (7/ 9.0) -2 0)' Â (7) '2(7)' '2(/l — l)fo

^ n n II 11 II II II II

D'après (5) et (6), 203 et qw' forment une paire de périodes équivalentes à 2to et 203', ou primilives. La figuration (^j) des divers groupes est donc telle que le premier argument du premier groupe est un quelconque des n^ — i arguments Wn- Le second groupe est arbitraire aussi; mais le premier argument est déterminé dans ce groupe.

Tous les autres groupes sont ensuite déterminés complètement, (piant à leur ordre et quant à l'ordre des arguments dans chacun d'eux.

Dans cette figuration (7), on peut représenter le premier argument de chaque groupe ainsi

Le choix du couple de périodes 2c5, 2(ù' influe seulement sur l'ordre des groupes.

Cas où le diviseur est une puissance d'un nombre premier.

Soit a un nombre premier et supposons n = a^. Pour que (V/^, donné par la formule (i), soit une /i''^'"^^ partie de période, il faut et il suffit que l'un, au moins, des nombres p et p' soit premier avec a. Le nombre des w^ est donc

'''-'- [{-aï -'] = "

Cela étant, le produit rruvn sera de cette même nature, si m n'est pas divisible par a. En prenant m dans la suite i , p., . . . n — i , il faut donc excepter les nombres «, 2«, 3a, . .. (a^~^ — \)a. I! reste donc «^ — 1 — (a^~' — i) nombres m. Soit posé

n '-^ a^-, o(n) ^ a^ ~ a^-^ =^ ni^\ — ~\.

En raisonnant comme au paragraphe précédent, on voit se séparer les arguments w,i en groupes, dont chacun contient des arguments en nombre 'f (/i). Le nombre tolal des groupes est

donc

Deux arguments {p-, p') et {r ■,!•') appartenant au même groupe sont encore caractérisés par la condition (2). La preuve est la même qu'au paragraphe précédent. Dans la démonstration, il faut

igS TROISIÈME PARTIE^

observer que, si p et p' ont un facteur commun, ce facteur est premier avec n par hypothèse. Cette observation est nécessaire pour étabHr qu'un facteur commun k p et p' appartient aussi à [a. Que l'on envisage ensuite les arguments (/% /*') pour lesquels pi' — rp' est premier avec n^ et l'on est conduit à la considération de /i -f- I groupes

(p,p'), {r,r'), {r-hp, 7^' -i-p"), {r -^ -ip, r' -^ ip' ), ....

Mais il en existe d'autres, car pr' — rp' peut être non divisible par n^ sans être cependant premier avec n ; c'est ce qui arrive si pr' — jp' est divisible par a, ou a-, . . . sans l'être par a^.

Soit àono, pr' — rp' divisible par a^, sans Fêtre par a^+^ On pourra déterminer m par la condition

ni{pr' — rp') ^r-^ a^^' (moda^).

Mais, tandis que précédemment il existait un seul nombre m (aux multiples près de /i), il en existe maintenant plusieurs. Soit,

en effet,

ni' (p /-' — fp') -- a^' (moda^) ;

on en conclut

{m — 771') {pr' — rp') b= o (moda^).

Puisque pi^' — rp' contient le facteur a^, m — /??/ est assujetti seulement à contenir le facteur a^~^; les diverses solutions sontdonc

Ainsi, dans un même groupe, il y a plusieurs arguments (r, r') caractérisés par la condition

(9) p7'' — 7p' ^^ a^' (mod./i),

et Je nombre de ces arguments est égal à a^.

Si l'on prenait donc toutes les solutions (r, W) de la congruence (9), à des multiples près de n, pour former autant de groupes, chaque groupe serait répété un nombre de fois égal à a^. Cherchons à éviter cet écueil. Soient les deux arguments (/'^, r\) et (^2, '''2^? obtenus en posant