z r-^Vip, 7-2 = r' -H V2 p

FRAGMIÎNTS DIVERS. I99

Pour que ces deux arguments appartiennent à des groupes différents, il faut et il suffît que /'i ?\ — 7^2 ^^\ ne soit pas divisible par n. Or on a

riJ\-- i\ r\ = (vi — V2 )(/)/•'— r/»') r.- (vj ~ v,)^^^' (mod n).

11 est donc nécessaire et suffisant de prendre les nornbres v<, V2, ... à des multiples près de rt^~^, par exemple dans la suite o, 1 , 2, . . ., rt^~^ — I.

En outre, comme y>/', — /-^p' e^ a^, on voit que, sir^ est divisible par a, r\ le sera également, et (/'^, j'\) ne sera pas un n^*^"^^ de période effective. On doit donc exclure les valeurs de la suite précédente, en nombre a^~^~^, pour lesquels r-\-v^p serait divisible; par a.

Ainsi, pour chaque exposant A' = 1 , 2, . . ., a — i , ayant pris une solution (/•, /•') de la congruence (9), on aura les groupes distincts ci-après

Le nombre des groupes pour l'exposant A" est ainsi a'^~^ — a^~^+'; pour l'ensemble des exposants A', ce sera

En y joignant les groupes ci-dessus, en nombre rt'^-f- i , on retrouve le nombre a^-h a^~^ = T(/?) des groupes, tel qu'on l'a vu précédemment.

En rapportant les arguments aux deux périodes arbitraires 2tô et 20j', on aura, outre les groupes (8), ceux-ci

où A est successivement égal à tous les nombres premiers avec a, inférieurs à a^'^. Ce sont donc les arguments

2XCÔ 2C7)'

OÙ X, premier avec a, est inférieur à a^

Cas OÙ le diviseur est quelconque.

Pour que iv^, donné par la formule (i), soit une /i''"''' partie de période, il faut et il suffit que />, p' et n aient pour plus grand commun diviseur l'unité. Un groupe est formé avec les produits d'un argument cv„ par les nombres premiers à n et inférieurs à n.

Soit n décomposé en ses facteurs premiers, a, b, c, ...

Chaque fraction

- a'^b'^cl

eut être

dé^

Pi

cl'

chacune des fractions partielles étant réduite à sa plus simple ex pression. De cette manière, ^v,i apparaît comme la somme de di

i>./?iO) '}.py(ji ip-iOi •>./).,

Pour que Wn soit une /i^''"'° partie de période, il faut et il suffit (jue l'un des exposants A, ]i' soit égal à a, l'un des exposants A, A' égal à p, .... Ainsi w,i est la somme de divers arguments (ï^/,^, (V//,, ..., /?,, /?2, ... étant des puissances de nombres premiers

7ij =^ «îx, m—b'^, /i,i— cl, ....

Prenons pour {v,i^ le premier argument d'un groupe ^ pour (ïV/, le premier argument d'un groupe, etc., cela de toutes les manières. Nous aurons ainsi des arguments a'n appartenant à des groupes différents; car la condition

pr' — rp' EEE o ( mod /i ) , se décompose en

/>! 7''i — ri p\ ^-1 o ( mod ^i ),

Pir\ — i\p'ï^='^ (mod/î,),

dont une, au moins, n'a |)as lieu d'après l'hvpothèse. D'après cela: i" Le nombre des groupes est

T ( /i ) = T ( n, ) T ( /i. ) . . . — /i ( iH — ) ( ' "^ 7 ) ■ ' ' '

:>." ].e nombre des ternies du groupe est

Cp(>z) = o(/i,)'-?(^i2)...-/i(ï- ^-)('-^^-)----

3" l^e nombre total des ir,i est

La fonction 'f{/i) est bien connue en Arithmétique, comme de''nombrant les nombres premiers à n et inférieurs à /?'.

Groupes composés.

A l'ensemble des arguments iv„ on a souvent besoin d'adjoindre les divers arguments (v^g, où 8 est l'un quelconque des diviseurs de n. L'ensemble de tous ces arguments compose celui des 7^''^^"^^ [)arties de périodes effectives ou non, dont le nombre est n-, si l'on y comprend l'argument zéro, correspondant à 8 =:: i . De là résulte l'égalité arithmétique

où ù est successivement égal aux divers diviseurs de /z, y compris /? et l'unité.

Semblablement, si au groupe (jv,i) on adjoint les produits des {v,i par les nombres non premiers avec n^ on obtient un groupe composé qui contient des /^^•'"'^'^ parties de période non effectives, des w^, w^', .... Pour obtenir un argument (rg, il faut multiplier

par un nombre /?i, -? où nii est premier avec o. Pour que cet argument soit obtenu une seule fois, il faut que /??, soit inférieur à 0, de telle sorte que —4 — soit inférieur à n. Du reste on obtient des arguments tous différents entre eux quand on multiplie iv,i

par les nombres i , 2, ...,/? — i . De là

relation arithmétique bien connue.

Mais, si l'on prend ainsi pour chaque premier argument iv,i le groupe composé, les arguments (ï'g se trouvent, dans l'ensemble, répétés plusieurs fois. Dans l'ensemble des T(/?) groupes, il y a T(/2) o(ù) arguments «^g. Gomme le nombre des argument w^ distincts est seulement T(ô)cp(o), on voit que chacun d'eux est répété un nombre de fois égal à

a\ b', ... étant les facteurs premiers qui entrent dans n sans entrer dans û.

Soit, par exemple, n = 120 = 2^. 3 .5, T(/i) -^ 288. Les (Vo ou demi-périodes sont répétées chacune 96 fois, les «'3 72 fois, les (V5 48 fois? les ^^4 0 16 fois, etc.

Groupes cycliques.

Au lieu de multiplier un argument (V'/^ par les 'f (/i) nombres premiers à n, on peut le multiplier par les puissances d'un tel nombre. On forme ainsi le gi'oupe cyclique

comprenant des termes dont le nombre k est marqué par le plus petit exposant k (hormis zéro) qui satisfait à la condition

p.* ES I (mod n).

On sait, par le théorème de Fermât, que cet exposant k est égal à cp(Ai) ou à un diviseur de ^{n). Si p. peut être choisi de telle sorte qu'on ait k ^= (^(n) , le groupe ainsi formé ne diffère pas, sauf par l'ordre des termes, du groupe défini précédemment. Celui-ci est donc cyclique. Soit, au contraire, k << cp(/i); les (o(n)

arguments se répartiront en - groupes cycliques ; et l'ensemble

de tous les arguments Wn formera T(/z) "^^-^ =■ T, (/?) groupes cycliques.

Théorème général sur les fonctions cycliques.

Arrivons maintenant aux conséquences algébriques de la répartition en groupes. Nous devons d'abord rappeler que les fonctions jj, pour toutes les /li^'"!^^ parties de périodes, effectives ou non, sont les racines d'un polynôme '\n(^u)i entier par rapport à l'inconnue

x=.'pii^ ou bien^"/^^ si n est pair. Dans ce polynôme, le terme

du plus haut degré en x est purement numérique, les autres entiers en g2 et ^3, et l'homogénéité y est respectée. Quand n est un nombre composé, ce polynôme est décomposable en facteurs

dont chacun, 83, a pour racines les fonctions j3 des arguments w^^ 5 étant un diviseur de n. Chacun de ces facteurs Og a aussi les mêmes caractères algébriques que hn\ le premier coefficient est numérique, et les autres sont entiers en g^ et ^3. Supposons en effet qu'il en soit ainsi pour tout nombre composé de v facteurs premiers égaux ou inégaux, et soit n un nombre comprenant V + I facteurs premiers. Les diviseurs de /z, autres que /i lui-même, ont moins de v + i facteurs; donc tous les 9g, où 0 << /i, ont les caractères énoncés. Mais on a

et le quotient de ^,1 par ITQg, qui est un polynôme entier, aura les mêmes caractères.

On doit observer en outre que les Wa (sauf l'unique cas /i = 2) sont deux à deux égaux et de signe contraire; car tV/i et — Wn sont en même temps des /z^'^^^ parties de périodes, et sont distinctes, l'équation Wa ^ — w,i exigeant iWn ^ o, ou Wa = demi-période. Les fonctions pw,i sont donc en nombre ^^(n)T(n).

Ainsi les quantités x = p^Vn sont les racines d'un polynôme ^n{^)i de degré |-cp(A2) T(aî), dont le premier coefficient est numérique et dont les coefficients sont entiers en go et g^.

GoROLLAiiiE. — Les sommes de leurs puissances semblables (à exposant entier et positif ) sont des fonctions entières de gi et de ^3.

Nous appellerons fonction cyclique loute fonction rationnelle des symboles j3 et p' appliqués aux arguments d'un groupe cvclique et en outre symétrique par rapport à ces arguments, et ne contenant aucune irrationnelle. Une telle fonction F a seulement T, (n) valeurs. Elle dépend algébriquement de g^ et ^-3 : elle doit donc être racine d'une équation de degré Ti(/2), à coefficients rationnels. Voici comment on peut, en effet, le prouver.

Soit (V l'un des arguments du cycle. Tous les autres sont des multiples entiers de w\ toutes les fonctions p et jd' de ces arguments sont donc exprimables rationnellement par pw et p'tr. On a donc

(10) F = A -I- B p'tv,

A et B étant rationnels en j3(v. Mais la fonction, étant symétrique, ne change pas quand on y remplace (V^ par un autre argument du groupe. On a donc, en désignant par Fi, Fo, . . . la même fonction avec les autres arguments et par v le nombre des arguments,

F ^ ^^ ( F -4- F, + . . . -i- Fv i

Ainsi l'on peut mettre F sous la forme d'une somme de v fonctions, chacune d'un seul argument. La somme des fonctions F pour les divers groupes devient ainsi la somme de cp(/i)T(/2) fonctions, dont chacune contient un seul argument, et tous les arguments Wa s'y trouvent. Ainsi la somme des fonctions F pour

tous les groupes est égale à - SA, cette somme appliquée à tous

les arguments Wn\ car la somme SBp'tp est nulle, les arguments

étant deux à deux égaux et de signe opposé. Donc enfin SF =-SA,

cette somme appliquée à toutes les racines^" de 0,;. C'est une fonction symétrique des racines de 0,/; elle peut donc s'exprimer rationnellement par les coefficients de ce polynôme, qui sont euxmêmes rationnels en ^o et ^3.

Ce qu'on vient de dire pour F s'applique aussi bien à son carré,

FRAGMENTS DIVERS. 2o5

son cube, etc.; donc S F"^ est rationnellement exprimable en g.y et ^3. c. Q. F. n.

Ainsi toute fonction cyclique est racine d'une équation algébrique, dont le degré est égal au nombre des cycles, et dont les coefficients sont rationnels en go et g^.

On vient de reconnaître que dans SF la partie impaire Bp'w disparaît. Cette partie peut être écartée avant la transformation. En effet, F, exprimé sous sa forme primitive par les divers arguments, aura un dénominateur ne contenant que des symboles p. Or l'expression de pmw ne contient que piv] en la différentiant, on voit que p' nuv est le produit de p'iv par une fonction de piv. Un produit de k facteurs p donne lieu à une fonction rationnelle de pw, multipliée par (p' wy ; ce dernier facteur est lui-même une fonction rationnelle de piv si k est pair; mais i] restera un facteur p'iv si k est impair. On devra donc distinguer les parties paires, comprenant un nombre pair de facteurs p', et les parties impaires; ces dernières disparaissent de la somme.

Par exemple, soit

(II) F = pVpVijyP2 ... ,

(', Vi, (^2,. . . étant des arguments du groupe cyclique.

Si le nombre des facteurs est impair, toutes les sommes de puissances impaires seront nulles : l'équation en F manquera de tous les termes de rang pair.

Théorème sur les fonctions cycliques entières.

Une fonction cyclique est entière quand le dénominateur, réduit à une fonction entière des symboles p seulement, est purement numérique.

Telle est la fonction (i i). Le théorème qui les concerne consiste en ce que V équation <I> = o dont dépend une fonction cyclique entière cl ses coefficients entiers en go et g^, le premier coefficient étant numéricfue. C'est la même propriété que pour les fonctions 9,^.

En elïet, les coefiîcients de l'équation Qa = o étant entiers en ^2 et g-i, et le premier d'entre eux purement numérique, les racines p{w„) de cette équation restent finies pour toutes les va-

leurs finies de g.j et de ^3. Or les sommes des puissances semblables des racines de <ï> = o, et par suite les coefficients de cette équation, sont des fonctions entières des quantités p(w,i)' Donc ces coefficients resteront finis, quels que soient g2 et ^3, et seront entiers par rapport à ces quantités.

Sur le calcul de la fonction ^n-

Les séries à double entrée fournissent un moyen de calculer les sommes des puissances semblables des symboles j3 pour le groupe complet des arguments Wn- Prenons le développement (10) de la ])age 369 du Tome I

et mettons-y pour u l'argument