U''= (5 — 7tv/23) y', 25A- =— (5 + 7tV23)Y

Substituant dans la dernière et prenant arbitrairement un coefficient de proportionnalité, je trouve

Y — 7 ( 3 . 1 1 -h 5i ^23), y' — 2' ( ~ 3 . 1 1 -+■ 5 f v^23 ), A- = 2(5 — 'li v/23 ), /c' = 2 ( 5 -H 2 j v/23 );

d'où résulte

G — — 32. 1 1 H- '2 . 7 . 1 9 tï v^23 ,

K = 23(2. 73^ + 3 iV'^)-

II reste à trouver H. A cet effet, je prends ^ = f , ce qui donne

\ = — tS\ et, par conséquent,

TT'H = |S(S'G + SK).

Pour ^ = :!, nous avons

K= 23.3(73 -h fV'^), G=3(— 3.iT-H7.i9tV23),

S'G+SK= 2'^32(48I^-II.l7fv/â3).

D'autre part,

TT' = - - (11 -1- 5tV'^)(3 -:- iV'^~3)', '1

Il vient donc

(ii-f-5fV^)H = 2^.32(4814-11.17^/23) ou finalement

H = 2t3.3K7-ii-^*v/^) (^ = 1)-

Le changement du signe de t et de y'1'6 laisse inaltérés V et G, change K en — K, échange T et — T', ainsi que S et — S'; ce changement a donc pour effet de reproduire H, changé de signe. On a donc aussi

Par conséquent, pour t quelconque,

H =23.3(2.7.iU-3iv/^).

Comme vérification de ce calcul, prenons ^ = o, ce qui donne

— KV = 23.3^iV^. / TT'H ^i\?>Hsf^i, 1

J'ai donc la formule cherchée, savoir

, II __ 9.3.3(2.7. [i/ — 3tV23) G 32.11 — 2.7.19^^/^3

Mettant ^ =: -^, on la change en la suivante :

23(cv/23 — 3.7.11)^

(66) tss = T=— •

^ ne -H 7. I9V/23

Remplaçant enfin c par son expression (46)7 j'en déduis, suivant (62),

Prenant arbitrairement un coefficient de proportion, je poserai donc

I E = 21 v/'23 H- 32 -!-(8 v/23 -- 1 1) (^ -^ /i), (68) < E' = 2iv/23 -3'2— (8/23 — ii)(^-i-/?),

' E" — — 42/23 — ii{g --^ h).

Pour les deux autres fonctions V^ et Po, les formules seront analogues, g -\- h étant remplacé par ^g 4- Q-A ou 8- «• + 8 A. Par les égalités (5o), il est manifeste que, dans ces formules, E" est remplacé par E'^ ou E'^. Mais il reste à savoir dans quel ordre E et E' sont remplacés parEi et E"^ ou Eo et E'^. Pour ce but, supposant, dans le second meinbre (67), ^ + A remplacé par 8^ -+- 8- A, multiplions les deux termes par le conjugué du dénominateur, ce qui donne

[4+(6^-+-0-2A)v/^][2i/l3-,-ii(02^4-0A)].

La partie imaginaire de ce produit est

(2i.23-4.ii)(^-A)^;

le coefficient de i est positif. L^échange de E — E' en ±:(E, — E", ) doit donc être fait de manière que, dans

la partie imaginaire soit positive. En employant les séries ^, on trouve, pour la partie principale,

El — E"i >Ji 'H^ fn\ i-f-^V^

16 \ il

les autres termes sont sans influence sur le signe de la partie imaginaire : c'est le signe plus. C'est donc E", qui remplace E. Quant

à la fonction Po? ses éléments sont conjugués des précédents. Ainsi, en passant aux fonctions ?< ou P2, on doit, dans les formules (68), remplacer g -h h par B^ -+- 8-/i ou par %'- g -\-^h et, en même temps E, E^, E" par E^ , E,, E'^ ou par E'^, E2, E',.

Ainsi est pleinement achevée la solution du problème proposé.

Comparaison avec les résultats antérieurs. Soit posé

Prenons V(^) V( — t), puis remplaçons t- par son expression en y^ savoir

+-47 Nous obtenons ainsi, pour j-, l'équation

qui, étant développée, se réduit à

(>'est l'équation donnée, par le R. P. Joubert, dans les Comptes rendus àe 1860 (i®'" semestre, p. 912). Sa résolution suffit, bien entendu, pour définir explicitementles fonctions cherchées, puisque l'invariant absolu est rationnel en t-. D'une manière générale, pour toute fonction elliptique, on a

(70) I p3^3 ==22(jK-2)(l +47)S

en désignant par p un coefficient d'homogénéité, dont l'expression est

FRAGMENTS DIVERS. 1 qS

Ce coef(]cient p peut être pris ad libitum; aussi les invarianls sont-ils définis par la seule quantité jk, ou par V^. Mais, pour avoir les quantités c, e\ e" ^ sans nouvelle irrationnelle, il faut connaître t.

Semblablement, à l'égard des trois fonctions répondant à l'ordre proprement primitif, la connaissance de j' suffit aussi pour définir les invariants. Efiectivenienl, en prenant la transformation du second ordre qui fait passer de p à P, ainsi que la transformation inverse, on a les deux relations

et, en posant encore

y^ (E--E)(F/-Fy)^

on en déduit la relation, bien connue,

Prenant maintenant les formules (70) y mettant des lettres majuscules, au lieu de «^5 ,A':j^ .7, • • • -, puis remplaçant Y par

— r— et )' par son expression en fonction de c-, on trouve

\hy -ri ■>

A-^G;, -^ c(8c-2-i-8i), le coelïicient ). a Texpression suivante

*' " 4c(E" -K)(li"-E')'

llî.

Parties aliquotes de périodes; leur répartition en groupes, quand le diviseur est un nombre premier. .

Dans ce qui va suivre, les arguments seront toujours envisagés à des périodes près : deux arguments, quand ils diffèrent entre eux par une période, seront donc considérés comme un seul et même argument.

Par la notation iv,, on désignera une /i^^"^'^ partie de période effectwe; c'est-à-dire que lUVn est une période et qu'il n'existe pas, en même temps, un autre entier /?z, inférieur à /z, rendant nuv,i égal à une période. Quand ti est un nombre premier, celte dernière restriction est superflue.

Dans ce paragraphe, nous supposerons n un nombre premier.

Les arguments (V,/ sont compris dans la formule générale