PO) -h 9.p'l

Il = -!- .

On trouve, pour le terme général sous le signe sommatoire,

(2rto -H 2/''a)')H'+2

i^r :=^ p — mn, i^ — p — m n).

Ainsi r et /' prennent toutes les valeurs congrues à p et p' suivant le diviseur n.

Si l'on prend les n- — i arguments u qui sont des /^i'^™'^s de périodes effectives ou non, la somme des 7i^ — i séries analogues contiendra tous les termes où r, /•' ne sont pas à la fois multiples de n. Pour avoir toutes les périodes, il y manque les termes

On a donc

Cette somme est nulle si [x est impair. En supposant \k pair = 2 v et

p M = H C2 m2 + C3 î*^ -f- . . . + ex uA-^ + . . . ,

on a (t. 1, p. 366)

Ainsi, en observant que chaque fonction p a été obtenue deux Ibis

(12) 2p2V(i^;:3zi.'2v!(n2V+2__ ,)

Cv+1.

Soient posés, pour le nombre /i décomposé en ses facteurs premiers

Si J'on fait la somme pour les arguments iv,i seuls, on aura

Effectivement: i" la fonction cpu jouit de la propriété qu'appli- (juée à tous les diviseurs de /?, y compris i et/^, elle donne

0) = nV-.

Pour le prouver, il suffit d'observer que '^i).{o) peut s'obtenir ainsi. Prenons les diverses suites

aV- / \ aV-J \ aV-

et formons le produit obtenu en prenant un facteur dans chacune des lignes. Ce sera un des termes o^{ù). On a tous les 9a(S) en prenant toutes les combinaisons analogues. Donc Scpjj^(8) s'obtient en faisantla somme des termes de la première ligne, de la deuxième ligne, de la troisième, etc. et multipliant entre elles ces sommes. Donc le produit sera aV-^b^'^c^'^ . . . ^ nV-.

^^ Supposons régalité (i3) prouvée pour tout nombre fii ajant A" facteurs différents ou non, et supposons que /^ ait un facteur de plus. On a, dans l'égalilé (l'i),

où 0^ o', . . . sont les diviseurs de /i, sauf n et Vanité. Pour tous ces diviseurs, le nombre des facteurs ne surpassant pas A', l'égalité (i3) est supposée exacte. D'après la relation (14)5 on en conclura la relation (i3) pour n. Elle est prouvée pour le cas où /? est premier, car alors les relations (la) et (i3) coïncident; elle est doncgénéralement prouvée.

Par cette relation, nous connaissons l'expression des sommes symétriques formées avec les dérivées d'ordre pair des p( (v,^). Ou passera de là aux sommes de puissances semblables par les formules de décomposition des puissances de j3 en éléments simples (t. I, p. 2o3). On en conclura

v^ / Nr I r fil 1 1 ■>■) ,1

V oici une formule générale pour ces sommes, Soit

(l ~- C2II'' -i- c^u'^' -,

On a

(jhO'" + ' = -,-,;;-,

A 2 ir -h A3 ir "- . . . -h A,, u'-p

— :; : -r- • . . -t- - „- -r- iv^j+i , -H

On a d'ailleurs généralement

p(2À-2)ï^ =: ^-ii-^^' -^(.^.X'^)!cX-f-..

Par conséquent

Telle est la formule de décomposition en éléments simples, obtenue suivant les règles usuelles. On en conclut

Pour /?i = 4^ Oïl a

Ao=i, A2=5c2, A3— 5c3,

A4=5C4+I0C|, A5 = 5C5-r- 2OC2C3 . . .-,

Co- ^', c - ^' r - ^' - - ^^"-2^3

Cl — — ■) C3 — —, C4. —

--taJ ' . 22.3.0 \a^ 7. II 23.7 2^7 ' /

Pour /?^ r= 5,

H- (6C6+ 3OC2C4-!- l5c2 -h 20c|)cp2.

Mais la séparation des termes est déjà très laborieuse.

Calcul de quelques fonctions symétriques.

Soit 61 =:z:\ j3(ip/j appliqué à un groupe de '^{^n) termes. Pour les divers groupes, on a manifestement

2^1=0, 25fr^aé^2, 2*1==|3^3,

2^1 = 7^2^ ^n^ig.g.,,

et il faut calculer les coefficients numériques a, [B, ..., on voit

que jusqu'à ^ 5^, inclusivement, il y a un seul coefficient, qu'on

peut donc calculer en supposant A = o.

A cet effet, nous ferons to' infini. Il y a alors un seul groupe où

les arguments ne soient pas intinis; ce sera — , — ,

On a alors, en général,

^ j^ ^ y I JL V -1

Pour tous les groupes, sauf le premier,

tandis que, pour le premier groupe,

ikiù __ n^ I V ri^ L V L .

Soit — ^ y -^ = A. Pour évaluer s^ pour le premier groupe, nous savons qu'on a

c'est-à-dire

5i — [T(^) — i]cp(/z)A = o.

Soit maintenant à calculer ^Ss\. Cette somme se compose :

1° du s\ du premier groupe; 2° de ceux des autres groupes, pour chacun desquels on a 5< = — cp(/2)A.

La somme de ces s\ sera

[(TAi)-i]cp(n)2A2; donc

V,l=:[T(/l)-l]2cp(/l)2A2+[T(n)-l]cp(Al)2A2 = T(Al)[T(/l)-j]cp(Al)2A2.

Semblablement

2^? = [T(/i)-.]3cp(,i)3A3-[T(^)-i]cp(/03A3 = î[T(/i)-.]3-T(n) + i|cp(/i)3A3,

^sf = \[T{n)—i]o—T(n)-\-j\o(nyA^,

Telles sont les expressions auxquelles les sommes se réduisent pour to' infini. Il reste à évaluer A. Or, parle développement de dégénérescence, ou a

—, +27 — 4- 6 i^2 7 — + 10 zii 7 -î- H- .

I 7r2 TI* 2 7^*5

et, par conséquent,

Zdp-^ G ' ^/;v ~ 2.32.5' Zàf^ ~ S'sTsTy

Mais on a

donc

On aura ensuite

^.f = |[T(n)-i]3-T(n)+ijcp(n)3|| 25t = |[T(n)-i]^+T(^)-iicp(^)4-^

25« = |[T(/i)-i]6+T(n)-iJcp(n)*^(f jVX(*)A, ^5Ï = |[T(.i)-ip-T(/0+i|?(/0^fff'

Au lieu des groupes des {v,i, si l'on prend les groupes compos, on aura à remplacer simplement o{ii) par n — i . Dans le cas d'un nombre premier, on a

o{n)= n — I, T(/i) — i = n, ^sl = n{n ^-i)(,i-i)2^,

Soit

( IJ ) 5'ï'+/'2*''""^-r-/'3 5^"^ + />4-«^""^

(* ) >i inconnu.

FRAGMENTS DIVERS. 2l3

l'équation dont s^ est racine; on aura

n(n-i-î)(n — iy g^

hv^ |5[5«H«+i)(,t2-i}-C«(«>-.)](«-i)^ ^^^ !=«(«- :)(« + !)« («-2) («-3),

On peut de même calculer les autres fonctions symétriques, aux multiples près de A.

Parlons toujours des groupes simples, et considérons les ^2 = S(p(V//)2. Dans tout groupe autre que le premier, on a $2=^ 'f 1 A-. Donc la somme des ^o correspondants sera

(T-i;cp,A2 = (cp2-oOA2, et le ^2 du premier groupe sera donné par l'équation

5,|((p2 Cpi) A2 = S52 = 2E(p(V/j)2,

la dernière somme étant étendue à tous les pw^ distincts. Mais on a trouvé (page 208)

Donc, pour le premier groupe.

pour chacun des T — i autres groupes,

Donc

Semblablement