I(T-i)cpjcp

5f 52 = (T — i)2cpfA2(|cp4 -f- cpi)A2 (premier groupe), = cpfAi (autres groupes);

S^f ^2 = (T - i)2o| ( 1-cpi-^ cpi) A^-f- (T - i)cpf A* = (T^,)?î[(T-.)Ç + o.](fJ; et de même

i:.?.2 = (T-i)cp?{i-(T-i)2cp4 + [(T-i)2-i]cp,}^^ ^^-

2*l = i(icp,-cpO^+(T-i)cpfl(|^y'

Les résultats trouvés suffisent déjà pour former l'équation (i5), lorsque /i ==: 3. Ainsi, que l'on prenne l'équation

(s — 3 k) {s H- ky = s'^ — 6k-^s-^—Sk-^s — 3k^,

qu'on y remplace k par 2 A, puis s par 2 jd, on aura 2^^^. En mettant A au lieu de A" et p au lieu de s, on aura ^J^j ; /r- devra être

remplacé par — ? A'^ par -- , A'' par ( — ) 5 et il viendra

Pour 77 =:r 5, il j a uu coefficient non connu. On pourra écrire

k devra être remplace par 4 A et 5 par 2 ^, ou t = j) --- + p -r- -

On aura ainsi

(^ — [oA)U-l-2A)5+aA = 0

FRAGMENTS DIVERS. 2l5

où, symboliquement, A^= f^ ' A' = f , A> = (g)\ A^ = ^ £î, j^a —. /^\ par exemple.

Il s'agit de déterminer le coefficient a.

Dans ce but, nous prendrons le cas ^0=0, ^3=1, qui offre des simplifications considérables. Le dernier terme s'y réduira à — 27a. Connaissant ce dernier terme, nous en déduirons a.

Pour ^2 = o, ^3 =: I , on a

4'5=(4P^— l)'('-iP'^— lop^— i) — ^7pHp' — I)^ = 5(pi2-i9p9 3p6^5p3 i).

Il y a donc quatre quantités Ip—j = x racines de l'équation

On a

fe p.,,x?p!ii+.i

pu^P'2u=3pu-^^ = p{u) ,3

Le carré du produit des racines t est donc

n-iig^

appliqué à tous les p racines de ']>5 = o, c'est-à-dire

appliqué aux racines x de l'équation

F{x) = (ix — lyiix^—ioa; — i)— iycc(cc — ty.

Le carré en question est donc

irL(=:i)(i)vT'.

2l6 TROISIÈME PARTIE.

Mais

5iF(- I) = (4 -H 5)2(2 -f- 10.5 — 52) - 27(n- 5)3 = — 5.36 4*F(A)^-27(i-4)^=36.

On a donc — K — 5)^ ou 5- pour le carré demandé. Et maintenant le produit lui-même est-il +5 ou — 5? On a la racine

p-r +P-T~ réelle et positive, p —^^ -t- p -V"^ réelle et négative, et les autres imaginaires et conjuguées deux à deux. Le produit est donc négatif; donc le dernier terme de l'équation en t est — 5. Ainsi

— 27 a =1 — 5 , a = 2^et

(? — ioA)(f -f-2A)3-i- 2^A = o,

en posant symboliquement A^ = ( —

Il est à remarquer que le dernier terme, après développement, ne contient plus go-

C'est, en efl'et,

ni ^2+ ïïi(^l-27^1) = -5^1.

D'après le développement

(x — 5')(x -T-i)^ — x^ — i5a7^ — /^ox^ — 45^72 — .2/^x — 5,

on aura l'équation

ou

(Brioschi, Comptes rendus, t. LXXIX, p. 1069.)

Considérons l'expression

2rito

C'est une fonction algébrique de p — , g-, ^3. Pour le prouver, que l'on prenne

et qu on y tasse u ^= — ? on a

- .^ \ 2r, (coi ) „- 2 7)0) •

tffAi zh i)w = tf 2w dz — ] = ±e cf -— — ± e d

^ ' ^ n I n II

2yitb "'

en'

^ 20J fl ^

Ainsi, les puissances «(/i-j-a) et 7î{n — 2) de/ — sont des fonctions entières. Par leur quotient, on conclut que la puissance

4n est rationnelle.

Prenons, d'autre part, ^„(w) pour u = — ; on a

La puissance /t- étant ainsi rationnelle, on voit maintenant que

kl, . 1U) , 2fT) ^^ , ,

puissance 2az i est aussi, en p — et p louant a p \ on voit,

par le changement du signe de w, qu'il n'y entre point. C'est ce qu'on voit aussi par cette considération, que ^«+< et ^'„ contiennent en même temps ou ne contiennent pas le factenr p'.

11 est donc établi que/^<' est une fonction rationnelle de j) - t

de ^2 et de g^. On pourrait prouver que le dénominateur (réduit

à être indépendant de p -— par le moyen de 'h,/ = o) se réduit à

une puissance du discriminant; mais ce n'est pas utile. Ce qui importe, c'est que cette fonction rationnelle ne devient infinie pour aucune valeur des invariants ^o et g-^ ; cela résulte immédiatement de ce que/"^"+-^ = 'h,i+\ est un polynôme entier en g^, gs:

lut I '1 M 1, 2 03 , 2W 1 . . .

p — ? p —■> et que, d autre part, p — et p — ne deviennent jamais infinis.

2l8 TROISIÈME PARTIE.

L'expression /^^ restant toujours finie, les fonctions cycliques correspondantes sont racines d'équations à coefficients entiers.

(Le rapprochement avec la combinaison particulière , relativement au cas n =:z 1^ doit être fait. )

[On peut aussi employer la fonction analogue à -^ , savoir

«0 -^ «ipw 4- a-ip a -h ... + a„i p'

Par l'analjse employée au Tome I, on voit que les coefficients a sont des fonctions entières de p — et p' — avec un dénominateur

n^//i (■ — )• En prenant la dérivée ai'""™^ et faisant u

commu on aura

ou/-" exprimé rationnellement, avec le dénominateur '^,i-i ( — -

comme nous l'avons aussi par le quotient y^-]

La fonction cyclique que l'on envisage , c'est le produit des fonctions y (ou un demi-produit) pour un groupe simple, composé ou cyclique. La puissance in de ce produit est une fonction rationnelle cyclique ; mais on va reconnaître tout de suite que des puissances, d'exposant indépendant de /2, le sont aussi.

A cet effet, s'il s'agit d'un groupe cyclique quelconque (v, ouv , a-w, . . . , on devra considérer

, , , a'aw (ïawe «^ [ fM]'''

ya'we «' /

Changeant successivement iv en a^ip, ol-w, ... et faisant le produit, on aura

Mais ces cycles spéciaux ne doivent pas nous arrêter, et nous devons surtout considérer le groupe simple et le groupe composé.

Dans l'un et l'autre cas, il suffît de considérer

^pW

{fw)P'-

oùp est premier avec n, et de faire le produit

On reconnaît ainsi que la puissance p- — i est une fonction entière.

Il convient de s'arrêter ici quelque peu.

Soit n impair et non multiple de 3 ; on pourra prendre successivement/» r=r 2 et /> = 6, par exemple ;

[n/(a«^)]3 et [n/(ac^)]33 sont fonctions entières et

est rationnel.

Ainsi I I f[0LW) est une fonction cyclique pour n = 6lzizi. (C'est ce qu'on peut prouver aussi, avec Kiepert, par la formule

a 3 w fiiw)' f(w)

qui donne dans ce cas, 2 et 3 étant premiers avec n,

Mais chaque facteur est double au premier membre ; donc TT/(a«^) est lui-même entier et rationnel.)

Soit /z = 6/ -h 3. On peut prendre/? = 2, et rT/(a(:iP') sera

entier et rationnel.

Si n = 6ldz 2., alors on pourra prendre/? ^: 3, et

Mais I I^I^a est lui-même un carré, en sorte que (11/) est une fonction cyclique.

Si n = 6l,p- — I est divisible par 24 ; ( 1 lf\ est une fonction cyclique.

Les mêmes choses ont lieu pour le groupe composé.

En vue d'établir l'équation à laquelle satisfait la fonction

F rr= I îf^ examinons l'expression de cette fonction en produit,

en partant de la formule de la page 216, et supposons qu'il s'agisse du groupe composé.

n admettant que — \ soit un argument du groupe, on

aura les autres parla substitution de \k, a// à A" et A', \ étant successivement I, 2, . . . , 71 — I, et l'on pourra prendre k' ^= \ (si toutefois k' n'est pas nul).

On aura ainsi

),= „! i — e « V- ^gn\n ^ [i -^ e " q-)

= 11 ^ 2kkiTZ „ 2>v 9ft'kiTZ „ sX JLX 1 2» H ■ 1p

11 1 — ^/2/^ 11 i—qiP

Mai

car

nin — iMn — 2) ;i(/i — 1) n{n'^ — r)

De même

nr^^')=,=

Ihi TZ 2

En posant pour abréger e " ^"==r Q, on aura D'autre part,

'^ ' '^.hXin 2X-- ^

d'où

JJ(i-Q-) J][(i-Q-)

]^I-Q«/^ JJ(l-^2/,)

On trouve de même

Réunissant ces résultats, il vient

1 /wA"-i '

Le groupe co , qui correspond à w = ^? donne un autre résultat; il faut poser A' =^ o, k = 'k. 11 vient

) :=:«-! r ^ .^ ,^ p^» iil^iE ;7^oo !Ai!^ "1

Le produit des facteurs «e "" est «""* e ^ '~ . Celui des

facteurs i — e " est n. Celui des facteurs i — e " q'-P (par

rapport à \) est - — -^ . De même pour celui des facteurs

I — e " q-P. On a donc

Les circonstances relatives au cas q = o s'offrent ici sous un autre aspect que pour la fonction I^pw^; F^ reste fini, et Fq, Fi, . . . , F„__i sont nuls.

Avant tout, examinons le produit Fq F, ... F^. Les divers facteurs i — Q^ donnent pour /f = o, i, . . . , n — i le produit i — Ç'P, quand p est premier avec Ji ; mais, si p est multiple de ii, tel que np', c'est (i — q-P')".

Le produit | ] (i — ^"^)? o" /* ^^^ premier avec n, peut s'écrire

On a donc

FoFi . . . F„i T-j- ^^ q^-pnyi^Y q-tp^n'—^n-i

;t, en multipliant par --

FoF,...F„ iF,

par-i-,

iT'