VO
donc c = — -y.
Pour c', le terme en q- ne peut provenir que de — F^SF^F/f; car les produits F^F/^F/ contiennent q avec un exposant au moins
,^al a 0 - ,.
^ bn
e<2:al a o —r. =^ — ■ Ur on a
, 8 , , 4/Tr 8 r- / 2/i/Tr 2/;/7r\ 2 "j
En appelant a, ^ deux racines de x^ — i =: o, on a
, 4/71 / 2 /z/TC 2 /-/n: \
Se 5 Ve ^ +e 5 ; = Sa^ p2 (a -i- [B) = 2 a3Sa2 — Ea^ ^- — :
Donc
D'ailleurs
2F/,F;,. = - (-) [logM-...].
ï'-eyc^--]-
Donc
D'ailleurs
^-i^Ti,'-
Donc c'= '2, et l'équation cherchée sera
F«— ^^^2F5-f-2AF3+ ;A2= o.
On verra plus loin comment on peut passer de l'équation en t (pa^e 2i(i) à celle-ci, comment aussi on forme l'équation du second
degré qui, t ou F étant connu, donne p -. et p— •
Pour 71 = "j :
n^—i k(ji — i) Forme
12 11 l'i des coefficients
^^"=1 o ¥ Cl^3
/^• = '^ ¥ 4 Ce A4
TT A*^ I I /7:\fi G3
to/ 7' ^^^onco'' ^^=
Fragments relatifs à la transformation.
Au Tome I, page 323, on a trouvé les résultats suivants :
y étant une fonction homogène, de degré p, des variables u , to, w', si l'on pose
— e-2rj(oi>VAa)i2y 24 Z
l'équation
a pour transformée
d'-z , dz (B) â^+^Tt^^^
jar
Soit, pour un instant, z-=y(^{v). Changeons u en nu, ] conséquent (^ en nç. Si y=f{^) est solution de (A), alor Y=/(/^(^) est solution de
D'autre part, i; =f{^) ?(^) étant solution de (B), sera solution de
Donc, en posant
Z = Ycp(nO,
on transforme (A') en (B'). Au lieu de ^^ Y, Z, mettons v, ji', z. et nous voyons que l'équation
se transforme en
d^-z . dz
quand on pose
u — liMV, Q = 5 . r.w — r/w = — ,
to 2
^ ^ e-2v/]a)<^5^^^l2) 2'.. to-Pj/,
jK étant homogène et de degré p.
Pour cette équation (i), on a vu (t. I, p. 828) qu'en posant
et prenant x=zpu^ avec ^o et ^3 pour variables, on a la transformée
''Si-t''^'"^)^'"-(4v-3)f]|-vD^-^v(v-i)^^ = o.
Cette équation (3) est, en somme, une transformée de l'équation (2), obtenue en posant
La lettre p désigne un nombre arbitraire, qui n'apparaît pas dans l'équation (3), et qu'on peut prendre égal à zéro, si l'on veut. Cela apparaît d'ailleurs dans le résultat, qu'on peut écrire
Comme l'opération D, faite sur A, donne zéro pour résultat, le
facteur A ^^ joue dans l'équation (3) le même rôle qu'un coefficient constant. On doit donc écrire simplement
(4) ^ = e2voo)^^(Awi2)"24-(j^;^)-v-.
Si, dans le premier membre de (3), on substitue x' , on obtient les termes suivants :
xs-'^— g^s{s —\)xs-i
Soit s un nombre entier, et substituons le polynôme
P :-:: A ^P'^ -1- Aj ^^"M^ . . . 4" A ,- 1 ^ -^ A.,,
OÙ les A seront des fonctions de g.> et ^^3. Le résultat sera
A cp(5) -;- Al cp (5 — 1) -i- . . . - A.,i cp(i) H- A,. cp(o) — v^p^DA - v^-^- 1 DAi — ... — vxDXs^i — vDA,.
Le coefficient de x''^ dans le résultat se compose des parties suivantes :
Aa4-i(2 5 — 2A-— 2— V)(25— 2A: — I — V) \
^■Aa-i(^-A- +i)(4v-65 + 6A^-3)Ç \=^ik).
— A/,2(^ — /: 4- 2) (5 — A- H- 1)^3- vDA/, )
Le polynôme P satisfera à l'équation, si l'on a '}(/.)== o pour les valeurs A" = — 1 , o, i , . . . , 5. Pour A- = — I , on a
Ainsi les seules valeurs possibles de 5 sont - ou
Le nombre v étant supposé entier, prenons pour s celle de ces
deux valeurs qui est entière; on aura ces autres équations
o — t|;(o) — Al (-is — 2 — v)(25 — I — v) — vDA,
o = <];(!) = A2(25 — 4 — v) (2^ — 3— v)-f-A5(4v— 65-4-3)^ — vDAi,
o::=^(5-i)r- A,v(v-i)-^A,,.2(4v — 9)Ç — 6A,3^3-vDA,-i,
o = ^(s) - A,i (4v - 3) f^ - 2 A,.2^3- V DA,.
Il j a, comme on voit, 5 -f- i équations, et il n'est pas permis de prendre A ad libitum. Mais de la première on peut tirer A,. DA,, D- A, , . . . , D^A,, linéairement exprimés par DA, D- A, . . . , D^+*A; puis de la seconde A2, DA2, • . . , D^~' Ao, exprimés de même, etc., jusqu'à l'avant-dernière , qui donnera A^ et DA^. Substituant ces valeurs dans la dernière équation, on aura une équation $ = 0, linéaire en A, DA, ..., D^+^A. Si A est pris parmi les solutions de cette équation, on aura ainsi un polynôme P.
L'équation <3^ = o apparaît comme étant aux dérivées partielles, avec les variables g.^ et ^3 ; mais, vu l'homogénéité, elle se réduit à une équation différentielle. Pour effectuer cette réduction, en supposant A homogène, on remplacera A par une inconnue homogène et de degré zéro, en multipliant A par une puissance de ^2 ou de ^3, ou mieux du discriminant, et l'on prendra pour variable J, suivant la formule de la page 3i3 du Tome I. C'est donc une équation différentielle et linéaire, d'ordre 5 + 1, qui fournira l'inconnue A. Ou bien encore, on peut envisager l'ensemble (5) comme un système d'équations différentielles linéaires , avec s H- I inconnues et 5 -t- 1 équations.
Pour le moment, on se contentera d'observer un cas particulier, celui où V est le carré d'un entier impair, v = n'-. Nous savons qu'on a la solution P = (|>,;(î/), polynôme entier de degré
s = , et dont le premier coefficient A est une constante. En
ce cas, on le voit, l'équation 4> = o manque nécessairement du
terme en A.
A la page 829, Tome I, on a transformé l'équation (3) en pre-
23o TROISIÈME PARTIE.
liant pour inconnue
J.a transformée est alors
( — vD^i+(v— 3)(v — 4):c^i= o.
Si l'on substitue ^'' dans le premier membre, on trouve
en sorte qu'on a, pour le coefficient de ^'"''S dans le résultat de la substitution du poljnôme,
Q rrr B iC"' -f- Bj ^T '-1 -h . . . -^ B;.i ^T -}- B,.,
BA-i(r-A + i)(4v-6r + CA:- 9)^- } = ^^ik).
- B/,2(r - A- -" 2)(;- - A: + 1)^3- vDBa^
Les résultats sont tout semblables aux précédents, sauf que la
condition
donne
V — 3 V — 4 r =: ou •
Ayant ainsi choisi /', on a un système de /' -f- i équations différentielles linéaires avec autant d'inconnues pour déterminer les coefficients du poljnôme Q.
Le cas particulier où v est le carré d'un entier pair donne lieu à cette observation, qu'il y a une solution où B est une constante.
En résumé, on a :
l - -T- I polynômes P,
Si V est pair J
-i-i polynômes Q;
-f- 1 polynômes P,
Si V est impair.. . /
h I polynômes Q.
On a donc, dans tous les cas, v solutions de l' équation (3), de l'une des deux formes ¥{x) ou ¥{x)^^x^ — g^x — ^3.
Premier exemple .-7=2.
On a .9 = 1 ,
Al— DA = o, 1^2^ — iT>\i — o.
Or on a (t. I, p. 3i3), en supposant A homogène de degré zéro,
DA =:4v/3A«(J-i)2j^'^.
Posons
Al--. iy/S A^(J— i)2jtB;
il viendra d'abord
puis, B étant aussi de degré zéro,
En remplaçant g 2 par (AJ)'S on a
dB l T 2 \ 5
de là l'équation
LnJ-
<iJ2 ^J L2(J— 1) 3J/ '26.3U(J— l)
C'est précisément le type {Réduction des équations différentielles, p. 48) d'équations hypergéométriques
d^k /Ro Ri \ c^A G
avec
•^» = '--' «. = -- ^-iiM-i)
intégrables algébriquement ( ici /? ~ 2, /?? = 3,/> — 4, M= 24). La solution consiste à poser
.y2.33p4.oV-l)^'
et l'intégrale générale est
A = -^— (cp-j-c'),
c et c' étant des constantes arbitraires.
Dans une étude approfondie, il y aurait lieu d'examiner l'expression de p en fonction de J, le rôle du groupe fini, etc. Nous nous contenterons, pour le moment, d'un aperçu, fondé sur le calcul.
Si l'on pose
Y ^ p'' — '1 i v/3 p2 ^ r . Z = pi H- 2 i v^B p^ -h 1 ,
on a
p8-i- i4pM-i == YZ, i2iV3p2(p'' — 1)2= Z3— Y-*,
de sorte qu'on a
d'où résulte
Z3-4-Y3 , — - z //r=rj-+-
Par là on aura une équation du second degré en p-. Or il est visible que ceci revient à résoudre l'équation
Par la formule de Cardan, en désignant par 0 une racine cubique de l'unité, on a
ea = -\V=^^l (v/T^=l4-.)^- (v/r::i-if]' r i il
Soit
(/, j ! ,)3 =. M, (v/i - J - 0' - N, On a ainsi
M^'N "" OM ^Ô2W ~ e^^mTN ~ ' 3~rr~ 3 M
Z M ea+ 62ep+eey Y " N ~ ea+"è^^^^^^'' Z^Y 2ea— ep— ^f 3ea p*-4- «
Z__Y (e--0-^)(ey— e^) iy/3(ey--e^) 9.^3?'^ d'on
3 gg + 9. \/( eg — ep ) ( gg — ey )
e^,— ep
I __ 3 e,; — 2 /< gg - ep ) ( eg — ey )
= 9p3 ^V^-^p)^^a-^y)(^P"-^^ ^ ,p3(e.- epr^A^ ; (e,- — ep)2
fr 1~6 i i JL
[-p(p'*-0] -p •H^r-ep)'A 2*
ri i
= A-2^*" (^^^^) * == ^'' [S^a- 'Vl^a- ep) (^a- ^r)] '
Voici donc une valeur de A (où Ton peut négliger le fac-
Aa^ [Sea— 2/(ea— e^s) (eg— e^. )] \
Une autre valeur sera A p.
Gomme on a
, ^ 3ga+9v/.. . ^ 3ea— 2v/777
leur A 2
d'où
3eo(-h 2/. . .
3ea— '-^n/.-
cette seconde solution sera
Aa= [3ea4-2v/(ea— e 3 ) (6a— ey)]^
]1 est intéressant de voir directement comment les combinaisons linéaires de A^ et de A'^^ donnent Aq, A'p, Ay, A'y. Pour cela, simplifions d'abord. On a
3ea — •>V(ea — ep)(;ca— «y) = ip — + p(x):
P- ea^
Suivant donc les méthodes des pages 5i et suivantes du Tome P' ,
Aa = ( c -^ lb)\ A'^ ^-{c—ihy.
Par conséquent,
c + 16 := A ' , c — iô = A^^ ,
c= i(Aâ + A'of), /6=^^(Aâ-A'a^),
ia =AaAa.
Par conséquent,
c±ia^ -(Aa± Aa)S
i{b±ia)= -{Ar,±lA'o,y,
c'est-à-dire
A3, Ap =^-^(Aa=t A'a).
Ay, A'y ^ -- ( Aoc rh f'A'a).
En prenant A = (c -f f^)% on a
D^ Db
'iDA Dc-^iDb ^ c ^^ b
A c + ib
De
c = /ea — ep,
b = s/e ., — ea,
