DX ^ Y

DY = Z-4-a^2X,

on posera

• Y ^ 4 v/3 A" ( J - 1)2 jlj. = Aj Z=.A25;

iJ viendra, suivant les calculs précédents,

di ~ ^'

puis

dz -i-dX \ dî ^ \dï ^/

donc

^/J L2(J — I) 3JJ 24.3(J — i)J '^-.SnJ — i)J"^

Sans éliminer, voyons les exposants auxquels X appartient aux points singuliers :

I " Pour le point J == o , on pose X = J^4- XP"^* H- • • • , d'où Ton déduit

Substituant dans la dernière équation, et égalant à zéro le coefficient du terme en J^"^^ \[ vient

o ^ s{s — \^){s — -i) -~ is{s - ~ \) l =.s{s — \){s-~l).

Les exposants sont donc o, |, \ ;

2" Pour le point J = i , on pose X = (J — i)^+ . . . , d'où

et la deuxième équation donne

On a donc les exposants o, |-, i, si la condition subsidiaire (nécessaire pour la disparition des logarithmes dans l'intégrale relative à l'exposant zéro) est satisfaite.

Or, si l'on pose

X = i-i-X(J — i)2-t-..., on aura

et en substituant ces valeurs dans la dernière équation, le terme en (J — i)~- a son coefficient identiquement nul. La condition subsidiaire est donc remplie.

3° Pour J r:= 00 , posons

X=^ J^ + XJ^-l-H...,

d'où

et, d'après la dernière équation

Dans le cas actuel, en faisant

Al = 2 y, A2 = - z,

on a

DA = Y, DY=Z-i- -^^sA,

Donc

[ a + 8 3 I II

et la dernière équation en s devient

dont les racines sonl