III
Maintenant l'on doit avoir z = o pour u = 2w', c'est-à-dire
sin(2/i-f- O^^TT = — . [^-v(2«^-l) ^V(2«+l]].
Ceci ne détermine pas entièrement les rapports des coefficients. Mais Pcontient des arbitraires linéairement, et, si l'on en dispose de
• 1 2 to' 1
manière que z soit nui pour u = — , alors on trouve
k étant numérique, sauf un facteur d'homogénéité. Pour l'homogénéité, P étant de degré i, il faut mettre
Conséquemment
ou
D'autre part;
A et 0- S appliquent aux périodes 2w, -— • Le premier coefficient de P est donc (en faisant w = o)
Telle est l'expression très remarquable des solutions de l'équation différentielle.
On devra discuter, examiner s'il y a le nombre voulu d'inté-
grales. Mais en tout cas on devra prévoir que, dans les cas où
ne pourrait fournir toutes les intégrales, l'équation dilTérentielle est réductible.
La fonction z a aussi les racines
Il =^ y , • • • .' :
FRAGMENTS DIVERS. p^S
donc
Les séries à double entrée donnent le point de départ le plus simple pour la théorie delà transformation. Considérons les quantités
2 0)' 4cô' 2(v — l)â)'
et désignons-les par a. Soit
On a
