P CO

u — % — \v — u — ~ >. m to — 2 m Gi

lini'v + o) „,

= a — lin M — in —

Soient p'u^ p" u, ... es fonctions où les périodes sont 2 0) et

— ? on a évidemment

Pour pu, il faut quelque précautions :

u — pu- 2^ |^_____ ^2 J -^' 2d2d L(zi — a wf ~ {oL-i-wy^y

Donc

ce qui résulte d'ailleurs de l'intégration des formules précédentes. On a aussi cette conséquence Sp'a = o. Semblablement,

tu = lu -{- Z t(ii ~ ol) -{- uZpa ^ 1.1%,

II (3* a

pu étant fonction rationnelle de pu, il en est autant de pu — ))(', dent les racines donnent immédiatement

pii — pv ^ (P" — P^)JJ

pu — p(v — a)

pu ~pOL

Soit d'abord v impair. A la période 2w' près, les quantités a sont deux à deux égales et de signe opposé.

Soit 2w la période formant avec iGi' v- couple primitif, cl soient e\, e^, e^, les valeurs des quantités jjw, p(b', p (G) -\- tb' ) ; e>,, ^v, ^u. celles des quantités

POJ, J> — = P^-^ ' p ( CO + - j = (pCO -4- CO ).

Posant dans la formule précédente v = to, et remarquant que les quantités p{û} — a) sont deux à deux égales car J3(w+ --'- )

est égal à p ( w 4- 2 ^^ ~ ' ' '^'^ ) ' ^^ même que les quantités pcc, il vient

' n fp^ — p'^-^ — P)T^

pu-n = ipu--e,)ll^ ^^^^^^, J ,

Posant V = ô)', et remarquant que les quantités p{(s)' — a) soni

de la forme p ( ^- j , s étant impair, et égales deux à deux, il

vient

I pu — p \

p u--ey= (p u— es,) rr \ — — ^ / ,

J.X \ pu- p^à /

Enfin, en posant p =r= w -f- cô', on trouve de même

- - ---,- vu~p(^-^-^)

Multipliant et extrayant la racine carrée, il vient p' \i ^ p' uU^U^U^,