de même
à' u cr w ^ '
â'yU :fyU à' u a' u "'
^ixl^ ^|J.«jj^
Ci U
En supposant u = û)^ p = cô + w', on aura
^l — ^ix TX ei — p ( w -!- cô' — a )
ei— e.
^X— pa
et, en supposant « = c5, p = oj ^
ex Cy f^X ^). P ( <^^' ^)
ei— e^ JLJL ex— pa Multipliant, et utilisant la formule
(ex — pO [^X— P(w-+- 0] ^ (O— ejj.)(e).-- ev).
il vient
(ex— e|x)(ex— ^v) TrT(ex— ea)(ex- ^v)
(ex— ea)(ex— ev)
(ex— Pî')'^
On obtient de même deux autres formules analogues. Multi-
pliant, on obtient la valeur de
sous la forme suivante :
 I ll(j'a)'
AV n(e)^— pa)2(e[j — pscyn^v— Pît)"^ n(c5'iaa'2ac5'3a)^
On voit par là que - est une fonction algébrique des invariants, puisqu'elle est rationnelle, sauf les quantités algébriques pa..
Cette expression de - peut être simplifiée par les remarques
suivantes :
Prenons les arguments a et, d'autre part, les arguments 2a
Ainsi, sauf des périodes, les quantités 2a reproduisent les a,
Le Quotient II se réduit donc à l'exponentielle
v i ^ rv — 1 2a)' "1 V — 1 „-,-,rv — 1 2/v — i\-"i
Mais
donc
2v-ina'ia3'2aa'5a = (— i) ^ e ^'
Delà
Av (^v-ino'iaj'saa'aaj* n(j'a)i2,
Dans cette formule, on doit assigner à a les valeurs j^ et 2w'— j^,
Q 2 0)' 4w' (y — i)oj'
D'ailleurs la fonction
reste inaltérée par le changement de u en aw' — u; donc
Naturellement £, est arbitraire; mais on peut le fî.\er au mojen
d'une convention qui définisse A^"^ d'une manière complète. Ceci a lieu si l'on prend la formule (t. I, p. ^02)
On peut vérifier le résultat précédent et déterminer la valeur de £, par l'analyse suivante (où nous supposerons, pour fixer les idées, to = w, w = (o').
Soient
Q = q\ z '-^ e^ = e~'^ ^- q^ = QP.
On a
Tl"[,Q2(,v.p)][i Q;.(pv -p)] = ^!îi ( I Q2P) iJ__ -,p = ,, 2, 3, ....
En faisant le produit des quantités analogues pour les divers o, on voit que les nombres p, />v + p, />v — p reproduisent tous les entiers positifs, sauf les multiples de v, et chacune, une seule fois. D'autre part
v-1 (V-1VV-+1)
Donc, en multipliant le numérateur et le dénominateur par le produit
il vient
U-^TÔ»^ cr[^;- — Q 8 —
ailleu]
rs
